证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle B = 60°$，$AD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，
∴ $AB = BC = CD = AD = 4\sqrt{3}$，$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 均为等边三角形，$\angle BCD = 120°$。
∵ $G$，$H$ 分别是 $AF$，$EF$ 的中点，
∴ $GH$ 是 $\triangle AEF$ 的中位线，$GH = \frac{1}{2}AE$。
要使 $GH$ 最小，需使 $AE$ 最小。
当 $AE ⊥ BC$ 时，$AE$ 最小。
在 $\mathrm{Rt}\triangle ABE$ 中，$\angle B = 60°$，$AB = 4\sqrt{3}$，
$AE = AB · \sin 60° = 4\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$。
∴ $GH_{\mathrm{min}} = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
答案：$3$

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(12²+5²)=13。
∵AD=BC=5，
∴点D在以A为圆心，5为半径的圆上运动。
取AB中点F，连接EF、CF。
∵E为BD中点，F为AB中点，
∴EF=1/2AD=5/2=2.5。
∵F为Rt△ABC斜边AB中点，
∴CF=1/2AB=13/2=6.5。
在△CEF中，|CF-EF|≤CE≤CF+EF，
即|6.5-2.5|≤m≤6.5+2.5，
4≤m≤9。
m的整数值为4,5,6,7,8,9，共6个。
答案：D

证明：连接BD，CE。
∵P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点，
∴PQ是△BCD的中位线，QR是△DCE的中位线，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BD，PQ//BD；QR=$\frac{1}{2}$CE，QR//CE。
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE。
又AB=AC=5，AD=AE=2，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
延长BD交CE于点F，
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠CBD+∠ACB=90°，
∴∠BFC=90°，即BD⊥CE，
∴PQ⊥QR，PQ=QR，
∴△PQR是等腰直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=5，AD=2，
∴BD的取值范围为5-2≤BD≤5+2，即3≤BD≤7，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BD，$\frac{3}{2}$≤PQ≤$\frac{7}{2}$，
∴S_△PQR=$\frac{1}{2}$PQ²，
$\frac{1}{2}$×($\frac{3}{2}$)²≤S_△PQR≤$\frac{1}{2}$×($\frac{7}{2}$)²，
即$\frac{9}{8}$≤S_△PQR≤$\frac{49}{8}$，
∵8＞$\frac{49}{8}$，
∴△PQR的面积不可能是8。
答案：A