证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB// CD$，$\angle ABC+\angle BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
若$\angle ABC=\angle BCD$，则$\angle ABC=\angle BCD=90°$。
∵有一个角是直角的菱形是正方形，
∴菱形$ABCD$是正方形。
答案：D

证明：
∵ $AB=AD$，$BC=DC$，$AC=AC$，
∴ $\triangle ABC \cong \triangle ADC$（SSS），
∴ $\angle BAC = \angle DAC$，$\angle BCA = \angle DCA$，
∴ $AC$ 垂直平分 $BD$，即 $AC ⊥ BD$，$BO=DO$。
甲：添加“$AB // CD$”
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle BAC = \angle DCA$，
又 $\angle BAC = \angle DAC$，$\angle BCA = \angle DCA$，
∴ $\angle BAC = \angle BCA$，$\angle DAC = \angle DCA$，
∴ $AB=BC$，$AD=DC$，
∵ $AB=AD$，$BC=DC$，
∴ $AB=BC=CD=DA$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是菱形。甲正确。
乙：添加“$\angle BAD = 90°$”
仅 $AB=AD$，$\angle BAD=90°$，无法证明 $AB // CD$ 或 $AB=BC$，
四边形 $ABCD$ 不一定是矩形。乙错误。
丙：添加“$\angle ABC = \angle BCD = 90°$”
∵ $\angle ABC = \angle BCD = 90°$，
∴ $AB // CD$，
由甲知四边形 $ABCD$ 是菱形，
又 $\angle ABC=90°$，
∴ 菱形 $ABCD$ 是正方形。丙正确。
综上，甲、丙正确。
答案：B

证明：过点$P$作$PD ⊥ AC$于$D$，$PG ⊥ BC$于$G$，$PH ⊥ AB$于$H$。
因为$P$是$\angle CAB$和$\angle CBA$的平分线交点，所以$PD = PG = PH$。设$PD = PG = PH = r$。
在$Rt\triangle ABC$中，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = 24$。又$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle APC} + S_{\triangle BPC} + S_{\triangle APB} = \frac{1}{2}AC · r + \frac{1}{2}BC · r + \frac{1}{2}AB · r = \frac{1}{2}(6 + 8 + 10)r = 12r$，则$12r = 24$，解得$r = 2$，即$PD = PG = 2$。
在$AC$上截取$DM = GF$，连接$PM$。因为$PD = PG$，$\angle PDM = \angle PGF = 90^{\circ}$，所以$\triangle PDM \cong \triangle PGF(SAS)$，则$PM = PF$，$\angle DPM = \angle GPF$。
因为$\angle EPF = 45^{\circ}$，$\angle DPG = 90^{\circ}$，所以$\angle DPE + \angle GPF = 45^{\circ}$，即$\angle DPE + \angle DPM = 45^{\circ}$，$\angle MPE = 45^{\circ} = \angle EPF$。
又因为$PM = PF$，$PE = PE$，所以$\triangle MPE \cong \triangle FPE(SAS)$，则$ME = EF$。
$\triangle CEF$的周长$= CE + CF + EF = CE + CF + ME = CE + CF + MD + DE = (CE + DE) + (CF + MD)$。因为$MD = GF$，所以周长$= CD + CG$。
因为$CD = CE + DE$，$CG = CF + FG$，且$CD = AC - AD$，$CG = BC - BG$，由角平分线性质知$AD = AH$，$BG = BH$，$AD + BG = AB = 10$，所以$CD + CG = (AC + BC) - (AD + BG) = 14 - 10 = 4$。
故$\triangle CEF$的周长为$4$。
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