1. (3分)如图，甲、乙两动点分别从正方形$ABCD$的顶点$A$，$C$同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边(
A
)
A.$AB$上
B.$BC$上
C.$CD$上
D.$DA$上
答案：1.A
解析：
设正方形边长为$a$，甲速度为$v$，乙速度为$4v$。
首次相遇：共行$2a$，时间$t_1=\frac{2a}{v+4v}=\frac{2a}{5v}$，甲行$s_1=vt_1=\frac{2a}{5}$，在$AD$上。
后续相遇：每次共行$4a$，时间$t=\frac{4a}{5v}$，甲行$s=vt=\frac{4a}{5}$。
周期：甲行$4a$为一周，相遇次数$n=\frac{4a}{\frac{4a}{5}}=5$次，周期为5次。
第2000次：$2000÷5=400$，整除，与第5次位置相同。
第5次相遇甲总行程：$\frac{2a}{5}+4×\frac{4a}{5}=\frac{18a}{5}=3a+\frac{3a}{5}$，在$AB$上。
A
2. (2024·四川泸州·3分)如图，在边长为6的正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别是边$AB$，$BC$上的动点，且满足$AE = BF$，$AF$与$DE$交于点$O$，$M$是$DF$的中点，$G$是边$AB$上的点，$AG = 2GB$，连接$OM$，$FG$，则$OM+\frac{1}{2}FG$的最小值是(
B
)
A.4
B.5
C.8
D.10
答案：2.B
3. (2024·甘肃兰州·3分)如图，四边形$ABCD$为正方形，$\triangle ADE$为等边三角形，$EF⊥ AB$于点$F$。若$AD = 4$，则$EF =$
2
。
答案：3.2
解析：
解：
∵四边形$ABCD$为正方形，$\triangle ADE$为等边三角形，$AD = 4$，
∴$AB = AD = AE = 4$，$\angle BAD = 90°$，$\angle DAE = 60°$，
∴$\angle BAE=\angle BAD - \angle DAE=90° - 60°=30°$。
∵$EF⊥ AB$，
∴在$Rt\triangle AFE$中，$EF = AE·\sin\angle BAE=4×\sin30°=4×\frac{1}{2}=2$。
2
4. (3分)如图，在正方形$ABCD$中，$E$是边$AD$的中点，连接$CE$，$F$是$CE$上一点，过点$F$作$GH⊥ CE$，分别交线段$AB$，$CD$于$G$，$H$两点。若$BG = 1$，$CH = 5$，则$AG$的长为
7
。
答案：4.7
解析：
解：设正方形边长为$a$，则$AG = a - 1$，$DH = a - 5$，$AE = \frac{a}{2}$。
过$G$作$GM ⊥ CD$于$M$，则$GM = a$，$HM = CH - CM = 5 - (a - 1) = 6 - a$。
易证$\triangle CDE ∼ \triangle GMH$，$\frac{DE}{MH} = \frac{CD}{GM}$，即$\frac{\frac{a}{2}}{6 - a} = \frac{a}{a}$。
解得$a = 8$，$AG = 8 - 1 = 7$。
7
5. (2025·四川德阳·8分)在综合实践活动中，同学们对学校的一个正方形花园$ABCD$进行测量并规划使用。如图，$E$，$F$两点处是它的两个门，且$DE = CF$，要修建两条直路$AF$，$BE$，$AF$与$BE$相交于点$O$（两个门$E$，$F$的大小忽略不计）。
(1) 请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系？并说明理由；
(2) 同学们测得$AD = 4$米，$AE = 3$米，根据实际需要，某小组同学想在四边形$OBCF$地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门$F$处，另一端$P$在已经修建好的路段$OB$或花园的边界$BC$上，并且另一端$P$与点$B$处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路？若能，能修建几条？并说明理由。
答案：5.(1)这两条路等长，且互相垂直.理由如下:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠C=∠D=90°.又DE=CF,所以AD−DE=CD−CF,即AE=DF.所以△BAE≌△ADF(SAS).所以BE=AF,∠ABE=∠DAF.所以∠ABE+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°,即∠AOE=90°.所以BE⊥AF,即这两条路等长，且互相垂直.
(2)能,能修建1条,理由如下:由(1),得AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠C=∠D=90°,AF⊥BE,AF=BE.因为AD=4米,AE=3米,所以AB=BC=4米,DE=1米.又DE=CF,所以CF=1米.在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE=$\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}$=5米,所以AF=5米.又$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB· AE=\frac{1}{2}OA· BE$,所以$OA=\frac{AB· AE}{BE}=$2.4米.则OF=2.6米.连接PF.当点P在路段OB上时,PF＞OF,所以PF＞2.6米.又PF=2.5米,所以此情况不存在;当点P在边BC上时,由勾股定理,得$CP^{2}=PF^{2}-CF^{2}=5.25$米².又P,B两点间距离不少于1.5米,所以CP≤2.5米.又$2.5^{2}=6.25$,且6.25＞5.25,所以当点P在边BC上时,能修建1条这样的直路.综上,能修建成这样的直路,且只能修建1条.
