22. (6分)已知$M = (1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{1}{x^2 - 1} - (x - 1)$，$N = (\frac{3x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) · \frac{x^2 - 1}{x} + 2$，且$x ≠ ±1$，0。小刚和小军在对上述式子进行化简后，小刚说在$x$的取值范围内不论$x$取何值，$M$的值都比$N$的值大；小军说在$x$的取值范围内不论$x$取何值，$N$的值都比$M$的值大。请你判断他们谁的结论正确，并说明理由。
答案：22. 小刚的结论正确. 理由如下：因为$M=\frac{x - 1 + 1}{x - 1}·(x - 1)(x + 1)-(x - 1)=x(x + 1)-(x - 1)=x^{2}+1,N=\frac{3x - x}{x + 1}·\frac{(x - 1)(x + 1)}{x}+2=2(x - 1)+2=2x$，所以$M - N=x^{2}+1 - 2x=(x - 1)^{2}$. 又$x\neq1$，所以$(x - 1)^{2}＞0$，即$M - N＞0$. 所以$M＞N$. 所以小刚的结论正确，即在$x$的取值范围内不论$x$取何值，$M$的值都比$N$的值大.
解析：
小刚的结论正确. 理由如下：
因为$M=(1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{1}{x^2 - 1} - (x - 1)$
$=\frac{x - 1 + 1}{x - 1}·(x - 1)(x + 1)-(x - 1)$
$=x(x + 1)-(x - 1)$
$=x^2 + x - x + 1$
$=x^2 + 1$，
$N=(\frac{3x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) · \frac{x^2 - 1}{x} + 2$
$=\frac{2x}{x + 1}·\frac{(x - 1)(x + 1)}{x} + 2$
$=2(x - 1) + 2$
$=2x - 2 + 2$
$=2x$，
所以$M - N=x^2 + 1 - 2x=(x - 1)^2$.
又因为$x≠±1$，$0$，所以$x≠1$，则$(x - 1)^2＞0$，即$M - N＞0$，所以$M＞N$.
因此，小刚的结论正确.
23. (8分)(2025·山东东营)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销。某经销店购进$A$款哪吒玩偶的金额是2400元，购进$B$款哪吒玩偶的金额是1600元，购进$A$款哪吒玩偶的数量比$B$款哪吒玩偶少50个，$A$款哪吒玩偶的单价是$B$款哪吒玩偶的2倍。
(1) 求$A$，$B$两款哪吒玩偶的单价；
(2) 为满足消费者需求，在$A$，$B$两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进$A$，$B$两款玩偶共100个，$B$款哪吒玩偶的数量不多于$A$款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，则共有多少种不同的进货方案？
答案：23. (1) 设$B$款哪吒玩偶的单价是$x$元/个，则$A$款哪吒玩偶的单价是$2x$元/个. 由题意，得$\frac{1600}{x}-\frac{2400}{2x}=50$，解得$x = 8$. 经检验，$x = 8$是原方程的解，且符合题意. 则$2x = 2×8 = 16$. 所以$A$款哪吒玩偶的单价是$16$元/个，$B$款哪吒玩偶的单价是$8$元/个.
(2) 由(1)，得$A$款哪吒玩偶的单价是$16$元/个，$B$款哪吒玩偶的单价是$8$元/个. 设该超市购进$A$款哪吒玩偶$m$个，则购进$B$款哪吒玩偶$(100 - m)$个. 由题意，得$\begin{cases}100 - m\leqslant2m,\\16m + 8(100 - m)\leqslant1100,\end{cases}$解得$\frac{100}{3}\leqslant m\leqslant\frac{75}{2}$. 又$m$为正整数，所以$m = 34$或$35$或$36$或$37$. 则共有$4$种不同的进货方案.
