19. (8分)化简：
(1) (2025·甘肃白银)$\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 2} ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$；
(2) $\frac{a^2 - 6a + 9}{a - 2} ÷ (a + 2 - \frac{5}{a - 2})$。
答案：19. (1) 原式$=\frac{1}{x - 1}+\frac{x - 1}{x + 2}=\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^{2}}=$
(1) 原式$=\frac{1}{x - 1}+\frac{x - 2}{x - 1}=1$.
(2) 原式$=\frac{(a - 3)^{2}}{a - 2}÷\frac{a^{2}-4 - 5}{a - y}=\frac{(a - 3)^{2}}{a - 2}·\frac{a - 2}{(a + 3)(a - 3)}=\frac{a - 3}{a + 3}$.
20. (8分)解方程：
(1) $\frac{x}{2x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - 2x}$；
(2) $\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{40}{4 - x^2} = \frac{x + 2}{x - 2}$。
答案：20. (1) 方程两边同乘$(2x - 1)$，得$x = 2(2x - 1)+3$，解得$x = -\frac{1}{3}$. 经检验，$x = -\frac{1}{3}$是原方程的解.
(2) 方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$(x - 2)^{2}-40=(x + 2)^{2}$，整理，得$8x = - 40$，解得$x = - 5$. 经检验，$x = - 5$是原方程的解.
21. (6分)(2025·四川遂宁)先化简，再求值：$(a + 1 + \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{a^3 - 2a^2}{a^2 - 4a + 4}$，其中$a$满足$a^2 - 4 = 0$。
答案：21. 原式$=\frac{a^{2}}{a - 1}·\frac{(a - 2)^{2}}{a^{2}(a - 2)}=\frac{a - 2}{a - 1}$. 又$a^{2}-4 = 0$，所以$a^{2}=4$. 又$(\pm2)^{2}=4$，所以$a = 2$或$a = - 2$. 又$a - 1\neq0,a\neq0,a - 2\neq0$，所以$a\neq0,a\neq1,a\neq2$，即$a = - 2$. 所以原式$=\frac{-2 - 2}{-2 - 1}=\frac{4}{3}$.
解析：
解：原式$=(a + 1 + \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{a^3 - 2a^2}{a^2 - 4a + 4}$
$=(\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1} + \frac{1}{a - 1}) ÷ \frac{a^2(a - 2)}{(a - 2)^2}$
$=\frac{a^2 - 1 + 1}{a - 1} · \frac{(a - 2)^2}{a^2(a - 2)}$
$=\frac{a^2}{a - 1} · \frac{a - 2}{a^2}$
$=\frac{a - 2}{a - 1}$
由$a^2 - 4 = 0$，得$a^2 = 4$，解得$a = 2$或$a = -2$。
因为分母不能为$0$，所以$a - 1 \neq 0$，$a \neq 0$，$a - 2 \neq 0$，即$a \neq 1$，$a \neq 0$，$a \neq 2$，所以$a = -2$。
当$a = -2$时，原式$=\frac{-2 - 2}{-2 - 1}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$。
