24. (8分)(2025·江苏镇江期末)已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值。阅读下面的解题过程：
解：由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，得$x ≠ 0$，所以$\frac{x^2 + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。所以$\frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2x · \frac{1}{x} = 3^2 - 2 = 7$。所以$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{7}$。
说明：该题的解法叫作“倒数法”。
请你利用“倒数法”解答下面的问题：
已知：$\frac{x}{x^2 - 2x - 2} = 4$，求：
(1) $x - \frac{2}{x}$的值；
(2) $\frac{x^2}{x^4 - 6x^2 + 4}$的值。
答案：24. (1) 由$\frac{x}{x^{2}-2x - 2}=4$，得$x\neq0$，所以$x^{2}-2x - 2=\frac{x}{4}$，即$x - 2-\frac{2}{x}=\frac{1}{4}$. 所以$x-\frac{2}{x}=\frac{9}{4}$.
(2) 由(1)，得$x-\frac{2}{x}=\frac{9}{4}$. 因为$\frac{x^{4}-6x^{2}+4}{x^{2}}=x^{2}-6+\frac{4}{x^{2}}=(x-\frac{2}{x})^{2}-2=(\frac{9}{4})^{2}-2=\frac{49}{16}-2=\frac{49 - 32}{16}=\frac{17}{16}$，所以$\frac{x^{2}}{x^{4}-6x^{2}+4}=\frac{16}{49}$.
25. (10分)中国是最早发现并利用茶叶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化。某茶叶店用4000元购进了$A$种茶叶若干盒，用8400元购进了$B$种茶叶若干盒，所购$B$种茶叶比$A$种茶叶多10盒，且$B$种茶叶每盒的进价是$A$种茶叶每盒进价的1.4倍。
(1) $A$，$B$两种茶叶每盒的进价分别为多少元？
(2) 第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进$A$，$B$两种茶叶共100盒(进价不变)，$A$种茶叶的售价是每盒300元，$B$种茶叶的售价是每盒400元。两种茶叶各售出一半后，为喜迎中秋佳节，两种茶叶均打7折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元(不考虑其他因素)，则第二次购进$A$，$B$两种茶叶各多少盒？
答案：25. (1) 设$A$种茶叶每盒的进价为$x$元，则$B$种茶叶每盒的进价为$1.4x$元. 由题意，得$\frac{4000}{x}+10=\frac{8400}{1.4x}$，解得$x = 200$. 经检验，$x = 200$是原方程的解，且符合题意. 则$1.4x = 280$. 所以$A$，$B$两种茶叶每盒的进价分别为$200$元和$280$元.
(2) 设第二次$A$种茶叶购进$m$盒，则$B$种茶叶购进$(100 - m)$盒. 打折前$A$种茶叶的利润为$\frac{m}{2}×(300 - 200)=50m$（元），$B$种茶叶的利润为$\frac{100 - m}{2}×(400 - 280)=(6000 - 60m)$元；打折后$A$种茶叶的利润为$\frac{m}{2}×(300×0.7 - 200)=5m$（元），$B$种茶叶的利润为$\frac{100 - m}{2}×(400×0.7 - 280)=0$（元）. 由题意，得$50m + 6000 - 60m + 5m = 5800$，解得$m = 40$. 所以$100 - m = 100 - 40 = 60$. 则第二次购进$A$种茶叶$40$盒，$B$种茶叶$60$盒.
