9. 对于正数$x$，规定$f(x) = \frac{2x}{x + 1}$，例如：$f(2) = \frac{2×2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$，$f(\frac{1}{2}) = \frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{3}$，$f(3) = \frac{2×3}{3 + 1} = \frac{3}{2}$，$f(\frac{1}{3}) = \frac{2×\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{2}$，则$f(\frac{1}{101}) + f(\frac{1}{100}) + f(\frac{1}{99}) + ··· + f(\frac{1}{3}) + f(\frac{1}{2}) + f(1) + f(2) + f(3) + ··· + f(99) + f(100) + f(101)$的值为(
C
)
A.199
B.200
C.201
D.202
答案：9. C 解析：因为$f(x)=\frac{2x}{x + 1}$，所以$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{2}{x + 1}$，且$f(1)=\frac{2×1}{1 + 1}=1$. 所以$f(x)+\frac{1}{x}f(\frac{1}{x})=\frac{2x}{x + 1}+\frac{2}{x + 1}=2$. 所以$f(101)+f(\frac{1}{101})=2,f(100)+f(\frac{1}{100})=2,···,f(3)+f(\frac{1}{3})=2,f(2)+f(\frac{1}{2})=2$. 所以$f(\frac{1}{101})+f(\frac{1}{100})+f(\frac{1}{99})+···+f(\frac{1}{3})+f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+f(3)+···+f(99)+f(100)+f(101)=100×2 + 1=201$.
10. (2025·江苏无锡模拟)已知$abc = 1$，$a + b + c = 2$，$a^2 + b^2 + c^2 = 16$，则$\frac{1}{ab + 2c} + \frac{1}{bc + 2a} + \frac{1}{ca + 2b}$的值为(
D
)
A.$-1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{2}{11}$
D.$-\frac{4}{13}$
答案：10. D 解析：因为$a + b + c = 2$，所以$(a + b + c)^{2}=4$，即$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ca = 4$. 又$a^{2}+b^{2}+c^{2}=16$，所以$ab + bc + ca = - 6$. 因为$\frac{1}{ab + 2c}=\frac{1}{ab + 2(2 - a - b)}=\frac{1}{ab + 4 - 2a - 2b}=\frac{1}{(a - 2)(b - 2)}$，所以同理可得$\frac{1}{bc + 2a}=\frac{1}{(b - 2)(c - 2)},\frac{1}{ca + 2b}=\frac{1}{(c - 2)(a - 2)}$. 又$abc = 1$，所以原式$=\frac{1}{(a - 2)(b - 2)}+\frac{1}{(b - 2)(c - 2)}+\frac{1}{(c - 2)(a - 2)}=\frac{c - 2 + a - 2 + b - 2}{(a - 2)(b - 2)(c - 2)}=\frac{a + b + c - 6}{(a - 2)(b - 2)(c - 2)}=\frac{-4}{abc - 2(ab + bc + ca)+4(a + b + c)-8}=\frac{-4}{1 + 12 + 8 - 8}=\frac{4}{13}$.
11. (2025·广西)写出一个使分式$\frac{1}{x + 3}$有意义的$x$的值，可以是
$x = 2$(答案不唯一）
。
答案：11. $x = 2$(答案不唯一）
12. 分式$\frac{1}{a^2 - 4a + 4}$、$\frac{1}{2a^2 - 8a + 8}$和$\frac{1}{3a - 6}$的最简公分母是
$6(a - 2)^{2}$
。
答案：12. $6(a - 2)^{2}$
13. 新定义：$[a,b]$为一次函数$y = ax + b(a ≠ 0,a,b$为实数)的“关联数”。若“关联数”为$[2,m + 1]$的一次函数是正比例函数，则关于$x$的方程$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{m} = 1$的解为
$x=\frac{3}{2}$
。
答案：13. $x=\frac{3}{2}$
解析：
由题意得，“关联数”为$[2,m + 1]$的一次函数为$y = 2x + m + 1$。
因为该函数是正比例函数，所以$m + 1 = 0$，解得$m=-1$。
将$m=-1$代入方程$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{m} = 1$，得$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{-1} = 1$。
化简得$\frac{1}{x - 1} - 1 = 1$，移项得$\frac{1}{x - 1} = 2$，解得$x - 1 = \frac{1}{2}$，$x = \frac{3}{2}$。
经检验，$x = \frac{3}{2}$是原方程的解。
$x=\frac{3}{2}$
14. 已知$y^2 + 3y - 1 = 0$，则$\frac{y^4}{y^8 - 3y^4 + 1} =$
$\frac{1}{116}$
。
答案：14. $\frac{1}{116}$
解析：
由$y^2 + 3y - 1 = 0$，$y \neq 0$，两边同除以$y$得$y - \frac{1}{y} = -3$。
平方得$y^2 + \frac{1}{y^2} = (y - \frac{1}{y})^2 + 2 = 9 + 2 = 11$。
再平方得$y^4 + \frac{1}{y^4} = (y^2 + \frac{1}{y^2})^2 - 2 = 121 - 2 = 119$。
$\frac{y^8 - 3y^4 + 1}{y^4} = y^4 - 3 + \frac{1}{y^4} = (y^4 + \frac{1}{y^4}) - 3 = 119 - 3 = 116$。
则$\frac{y^4}{y^8 - 3y^4 + 1} = \frac{1}{116}$。
$\frac{1}{116}$
15. 某商店销售一种旅游纪念品，4月的营业额为2000元。为扩大销售量，5月该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。如果4月销售这种纪念品获利1000元，那么5月销售这种纪念品获利
1 200
元。
答案：15. 1 200
解析：
设4月该纪念品的售价为$x$元，销售量为$y$件。
由4月营业额为2000元，得$xy = 2000$。
5月打9折销售，售价为$0.9x$元，销售量为$y + 20$件，营业额为$2000 + 700 = 2700$元，得$0.9x(y + 20) = 2700$。
将$xy = 2000$代入$0.9x(y + 20) = 2700$，得$0.9(xy + 20x) = 2700$，即$0.9(2000 + 20x) = 2700$。
解得$2000 + 20x = 3000$，$20x = 1000$，$x = 50$。
则$y = 2000÷50 = 40$件。
4月获利1000元，成本为$2000 - 1000 = 1000$元，每件成本为$1000÷40 = 25$元。
5月销售量为$40 + 20 = 60$件，营业额2700元，成本为$60×25 = 1500$元，获利$2700 - 1500 = 1200$元。
1200
16. (2025·江苏无锡期末)若关于$x$的方程$\frac{x - 1}{x - 3} = 2 + \frac{k}{x - 3}$有增根，则$k =$
2
。
答案：16. 2
解析：
方程两边同乘$x - 3$，得$x - 1 = 2(x - 3) + k$。
因为方程有增根，所以最简公分母$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
把$x = 3$代入整式方程，得$3 - 1 = 2(3 - 3) + k$，解得$k = 2$。
2
17. 若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x - 1 ≥ \frac{4x - 1}{3} \\ 5x - 1 ＜ a\end{cases}$的解集是$x ≤ -2$，且关于$y$的分式方程$\frac{y - 1}{y + 1} = \frac{a}{y + 1} - 2$的解是负整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和是 ______ 。
答案：17. $-13$ 解析：解不等式$x - 1\geqslant\frac{4x - 1}{3}$，得$x\leqslant - 2$；解不等式$5x - 1＜a$，得$x＜\frac{a + 1}{5}$. 又不等式组的解集是$x\leqslant - 2$，所以$\frac{a + 1}{5}＞- 2$，解得$a ＞ - 11$. 解方程$\frac{y - 1}{y + 1}=\frac{a}{y + 1}-2$，得$y=\frac{a - 1}{3}$. 因为方程的解是负整数，$y + 1\neq0$，所以$y ＜ 0$，$y\neq - 1$，即$\frac{a - 1}{3}＜0$，$\frac{a - 1}{3}\neq - 1$，解得$a ＜ 1$且$a\neq - 2$. 则$a$的取值范围是$-11 ＜ a ＜ 1$且$a\neq - 2$. 又$\frac{a - 1}{3}$是负整数，$a$是整数，所以满足条件的整数$a$的值分别是$-8$，$-5$，即所有满足条件的整数$a$的值之和是$-8 - 5 = - 13$.
解析：
解不等式$x - 1 \geq \frac{4x - 1}{3}$，两边同乘$3$得$3x - 3 \geq 4x - 1$，移项得$3x - 4x \geq -1 + 3$，合并同类项得$-x \geq 2$，解得$x \leq -2$。
解不等式$5x - 1 ＜ a$，移项得$5x ＜ a + 1$，解得$x ＜ \frac{a + 1}{5}$。
因为不等式组的解集是$x \leq -2$，所以$\frac{a + 1}{5} ＞ -2$，解得$a ＞ -11$。
解分式方程$\frac{y - 1}{y + 1} = \frac{a}{y + 1} - 2$，两边同乘$y + 1$得$y - 1 = a - 2(y + 1)$，去括号得$y - 1 = a - 2y - 2$，移项得$y + 2y = a - 2 + 1$，合并同类项得$3y = a - 1$，解得$y = \frac{a - 1}{3}$。
因为方程的解是负整数，且$y + 1 \neq 0$，所以$y ＜ 0$且$y \neq -1$，即$\frac{a - 1}{3} ＜ 0$且$\frac{a - 1}{3} \neq -1$，解得$a ＜ 1$且$a \neq -2$。
综上，$a$的取值范围是$-11 ＜ a ＜ 1$且$a \neq -2$。
因为$\frac{a - 1}{3}$是负整数，$a$是整数，所以$\frac{a - 1}{3} = -1$（舍去，此时$a = -2$），$\frac{a - 1}{3} = -2$时，$a = -5$；$\frac{a - 1}{3} = -3$时，$a = -8$；$\frac{a - 1}{3} = -4$时，$a = -11$（舍去，不满足$a ＞ -11$）。
所以满足条件的整数$a$的值为$-8$，$-5$，其和为$-8 + (-5) = -13$。
$-13$
18. (2025·江苏泰州模拟)甲上山晨练，乙则沿着同一条路线下山。他们同时出发，相遇后甲再走16分钟，乙再走9分钟，各自到达对方的出发地，则甲上山和乙下山的速度之比等于
$3:4$
。
答案：18. $3:4$ 解析：设甲、乙两人出发地之间的路程为$1$，甲上山的速度为$x$，乙下山的速度为$y$. 由题意，得$\begin{cases}\frac{1}{x}-\frac{1}{x + y}=16,\frac{y}{x(x + y)}=16\end{cases}$则由①$÷$②，得$\frac{y}{x}·\frac{x(x + y)}{y(x + y)}=\frac{16}{9}$，则$\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{16}{9}=(\frac{4}{3})^{2}$. 所以$\frac{y}{x}=\frac{4}{3}$，即$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$. 则甲上山和乙下山的速度之比等于$3:4$.
解析：
设甲上山的速度为$x$，乙下山的速度为$y$，两人相遇时所用时间为$t$分钟。
相遇时，甲走的路程为$xt$，乙走的路程为$yt$。
相遇后甲到达对方出发地的路程为$yt$，用时16分钟，可得$yt = 16x$；
相遇后乙到达对方出发地的路程为$xt$，用时9分钟，可得$xt = 9y$。
由$yt = 16x$得$t=\frac{16x}{y}$，由$xt = 9y$得$t=\frac{9y}{x}$。
所以$\frac{16x}{y}=\frac{9y}{x}$，即$16x^{2}=9y^{2}$，$\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{9}{16}$，$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$。
甲上山和乙下山的速度之比等于$3:4$。
