1. (2024·天津)计算$\frac{3x}{x - 1} - \frac{3}{x - 1}$的结果是(
A
)
A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x - 1}$
D.$\frac{3}{x^2 - 1}$
答案：1. A
解析：
$\frac{3x}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} = \frac{3x - 3}{x - 1} = \frac{3(x - 1)}{x - 1} = 3$，结果是3，答案选A。
2. (2025·贵州)若分式$\frac{x - 2}{x + 3}$的值为0，则实数$x$的值为(
A
)
A.2
B.0
C.$-2$
D.$-3$
答案：2. A
解析：
要使分式$\frac{x - 2}{x + 3}$的值为$0$，则分子为$0$且分母不为$0$。
分子$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
分母$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$。
综上，$x = 2$。
A
3. 已知一项工作由甲单独做，需要$a$天完成。如果由甲、乙两人合做，那么可提前2天完成。则乙单独做每天可以完成这项工作的(
D
)
A.$\frac{2}{a + 2}$
B.$\frac{2}{a - 2}$
C.$\frac{2}{a(a + 2)}$
D.$\frac{2}{a(a - 2)}$
答案：3. D
解析：
设工作总量为1，甲单独做每天完成$\frac{1}{a}$。甲、乙合作需$(a - 2)$天完成，合作每天完成$\frac{1}{a - 2}$。乙单独做每天完成$\frac{1}{a - 2}-\frac{1}{a}=\frac{a-(a - 2)}{a(a - 2)}=\frac{2}{a(a - 2)}$。
D
4. 在物理
学中，压强$p$等于物体所受压力$F$的大小与受力面积$S$之比，即$p = \frac{F}{S}$。两个均匀长方体铁块$A$和$B$放置在水平桌面上，质量分别为50N和100N。已知铁块$B$的底面积比铁块$A$的底面积多$1m^2$，且$A$，$B$两个铁块对桌面的压强之比为$3:2$，求两个铁块的底面积分别是多少。设铁块$A$的底面积为$S m^2$，则可列方程为(
D
)
A.$3×\frac{50}{S} = 2×\frac{100}{S + 1}$
B.$2×\frac{50}{S + 1} = 3×\frac{100}{S}$
C.$3×\frac{50}{S + 1} = 2×\frac{100}{S}$
D.$2×\frac{50}{S} = 3×\frac{100}{S + 1}$
答案：4. D
解析：
设铁块$A$的底面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则铁块$B$的底面积为$(S + 1)\ \mathrm{m}^2$。
铁块$A$对桌面的压强$p_A=\frac{F_A}{S_A}=\frac{50}{S}$，铁块$B$对桌面的压强$p_B=\frac{F_B}{S_B}=\frac{100}{S + 1}$。
已知$p_A:p_B = 3:2$，即$\frac{p_A}{p_B}=\frac{3}{2}$，所以$\frac{\frac{50}{S}}{\frac{100}{S + 1}}=\frac{3}{2}$，交叉相乘得$2×\frac{50}{S}=3×\frac{100}{S + 1}$。
D
5. 当$x = -2$时，代数式$(1 + \frac{1}{x}) ÷ \frac{x^2 + 2x + 1}{x}$的值是(
B
)
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-3$
答案：5. B
解析：
$(1 + \frac{1}{x}) ÷ \frac{x^2 + 2x + 1}{x}$
$=(\frac{x}{x}+\frac{1}{x})÷\frac{(x+1)^2}{x}$
$=\frac{x + 1}{x} × \frac{x}{(x + 1)^2}$
$=\frac{1}{x + 1}$
当$x=-2$时，原式$=\frac{1}{-2 + 1}=\frac{1}{-1}=-1$
B
6. 要使分式$\frac{3x^2 - 6x + 3}{(x - 1)^3}$的值为整数，整数$x$可取的值有(
D
)
A.5个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：6. D
解析：
$\frac{3x^2 - 6x + 3}{(x - 1)^3}=\frac{3(x-1)^2}{(x-1)^3}=\frac{3}{x-1}$，$x-1$为$3$的因数，$x-1=\pm1,\pm3$，$x=2,0,4,-2$，共4个值。D
7. 若化简$(\frac{b}{a + 1} - x) ÷ \frac{a^2b - b}{a^2 + 2a + 1}$的结果为$\frac{a}{1 - a}$，则$x$等于(
D
)
A.$-a$
B.$-b$
C.$a$
D.$b$
答案：7. D 解析：$x=\frac{b}{a+1}-\frac{a^{2}b - b}{a^{2}+2a + 1}·\frac{a}{1 - a}=\frac{b}{a + 1}+\frac{b(a + 1)(a - 1)}{(a + 1)^{2}}·\frac{a}{a - 1}=\frac{b}{a + 1}+\frac{ab}{a + 1}=\frac{b(a + 1)}{a + 1}=b$.
8. 若整式$A = m^2 + 1$，$B = m - 1$，则下列结论正确的有(
A
)
① 不论$m$为何值，分式$\frac{B}{A}$总有意义；② 若分式$\frac{A}{B}$的值为非负数，则$m ≥ 1$；③ 若分式$\frac{B + 1}{A} = -\frac{1}{3}$，则$\frac{m^2}{2m^4 - m^2 + 2} = \frac{1}{15}$；④ 当分式$\frac{A}{B}$的值为正整数时，整数$m$的值为2。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：8. A 解析：对于①，因为$A = m^{2}+1,B = m - 1$，所以$\frac{B}{A}=\frac{m - 1}{m^{2}+1}$. 因为$m^{2}+1\geqslant1$，所以不论$m$为何值，分式$\frac{B}{A}$总有意义. 故①正确；对于②，因为$\frac{A}{B}=\frac{m^{2}+1}{m - 1}\geqslant0$，所以$m - 1＞0$，即$m＞1$. 故②错误；对于③，因为$\frac{B + 1}{A}=\frac{m}{m^{2}+1}=\frac{1}{3}$，所以$m=\frac{1}{3}(m^{2}+1)$. 所以$m＜0$，$m^{2}=\frac{1}{9}(m^{2}+1)^{2}$，即$m^{4}=7m^{2}-1$. 所以$\frac{m^{2}}{2m^{4}-m^{2}+2}=\frac{m^{2}}{2(7m^{2}-1)-m^{2}+2}=\frac{1}{13}$. 故③错误；对于④，因为$\frac{A}{B}=\frac{m^{2}+1}{m - 1}=m + 1+\frac{2}{m - 1}$，分式$\frac{A}{B}$的值为正整数，$m$为整数，所以$m - 1＞0$，即$m - 1 = 1$或$m - 1 = 2$，解得$m = 2$或$3$. 故④错误. 综上，正确的有 1 个.
