26. (10分)【例题讲解】分解因式：$x^{3}-1$.
因为$x^{3}-1$为三次二项式. 若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积. 故我们可以猜想$x^{3}-1$可以分解成$(x-1)(x^{2}+ax+b)$，展开式子，得$x^{3}+(a-1)x^{2}+(b-a)x-b$，所以$x^{3}-1=x^{3}+(a-1)x^{2}+(b-a)x-b$恒成立. 根据等式两边同类项的系数相等，所以$a-1=0$，$b-a=0$，$-b=-1$，即$a=1$，$b=1$. 所以$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$.
【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.
【学以致用】
(1)若$x^{2}-mx-12=(x+3)(x-4)$，则$m=$
1
；
(2)若$x^{3}+3x^{2}-3x+k$有一个因式是$x+1$，求$k$的值；
(3)请判断多项式$x^{4}+x^{2}+1$能否分解成两个整系数二次多项式的乘积. 若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.
答案：26.(1)1 解析：因为(x + 3)(x - 4) = x² - x - 12，且x² - mx - 12 = (x + 3)(x - 4)，所以m = 1。
(2)方法一：设它的另一个因式为x² + a₁x + b₁，且a₁,b₁都是整数。由题意，得x³ + 3x² - 3x + k = (x + 1)(x² + a₁x + b₁) = x³ + (a₁ + 1)x² + (a₁ + b₁)x + b₁，所以b₁ = k，a₁ + 1 = 3，a₁ + b₁ = - 3，解得a₁ = 2，k = b₁ = - 5。则k的值为 - 5。
方法二：由题意，得当x = - 1时，x³ + 3x² - 3x + k = 0，即 - 1 + 3 + 3 + k = 0，解得k = - 5。则k的值为 - 5。
(3)能，x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² - x + 1)。解析：方法一：x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 - x² = (x² + 1)² - x² = (x² + x + 1)(x² - x + 1)。方法二：设x⁴ + x² + 1 = (x² + a₂x + b₂)(x² + a₃x + b₃)，且a₂,a₃,b₂,b₃都是整数，则原式=x⁴ + (a₂ + a₃)x³ + (b₂ + b₃ + a₂a₃)x² + (a₂b₃ + a₃b₂)x + b₂b₃。所以a₂ + a₃ = 0，b₂ + b₃ + a₂a₃ = 1，a₂b₃ + a₃b₂ = 0，b₂b₃ = 1，即a₂ = - a₃。所以a₂b₃ + a₃b₂ = a₂b₃ - a₂b₂ = a₂(b₃ - b₂) = 0。当a₂ = 0时，b₂ + b₃ = 1，b₂b₃ = 1，此时b₂² + b₃² = (b₂ + b₃)² - 2b₂b₃ = - 1＜0。又b₂² + b₃² ≥ 0恒成立，所以b₂,b₃无解；当b₃ = b₂时，因为b₂b₃ = 1，所以b₂ = b₃ = - 1或b₂ = b₃ = 1。当b₂ = b₃ = - 1时，b₂ + b₃ + a₂a₃ = - 2 + a₂a₃ = 1，所以a₂a₃ = 3。又a₂ = - a₃，所以此时a₂,a₃无解；当b₂ = b₃ = 1时，b₂ + b₃ + a₂a₃ = 2 + a₂a₃ = 1，所以a₂a₃ = - 1。又a₂ = - a₃，所以a₂ = 1，a₃ = - 1或a₂ = - 1，a₃ = 1。所以x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² - x + 1)。
