24. (10分)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等.
① 分组分解法：
例如：$x^{2}-2xy+y^{2}-4=(x^{2}-2xy+y^{2})-4=(x-y)^{2}-2^{2}=(x-y-2)(x-y+2)$；
② 拆项法：
例如：$x^{2}+2x-3=x^{2}+2x+1-4=(x+1)^{2}-2^{2}=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)$；
③ 十字相乘法：
例如：$x^{2}+6x-7$.
原式$=(x+7)(x-1)$.
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
① 分组分解法：$4x^{2}+4x-y^{2}+1$，
② 拆项法：$x^{2}-6x+8$，
③ 十字相乘法：$x^{2}-5x+6=$
(x-2)(x-3)
；
(2)已知$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，且$a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a-4b-6c+17=0$，求$\triangle ABC$的周长.
答案：24.(1)①4x² + 4x - y² + 1 = 4x² + 4x + 1 - y² = (2x + 1)² - y² = (2x + y + 1)(2x - y + 1)。
②x² - 6x + 8 = x² - 6x + 9 - 1 = (x - 3)² - 1 = (x - 2)(x - 4)。
③(x - 2)(x - 3) 解析：如图，x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)。
(2)因为a² + b² + c² - 4a - 4b - 6c + 17 = a² - 4a + 4 + (b² - 4b + 4) + (c² - 6c + 9) = (a - 2)² + (b - 2)² + (c - 3)² = 0，所以a - 2 = 0，b - 2 = 0，c - 3 = 0，解得a = b = 2，c = 3。又2 + 2＞3，符合题意，所以△ABC的周长为a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7。
25. (10分)观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：$a^{2}-1=(a-1)(a+1)$；
第2个等式：$a^{3}+1=(a+1)(a^{2}-a+1)$；
第3个等式：$a^{4}-1=(a-1)(a^{3}+a^{2}+a+1)$；
第4个等式：$a^{5}+1=(a+1)(a^{4}-a^{3}+a^{2}-a+1)$
……
(1)则第5个等式为
a⁶-1=(a-1)(a⁵+a⁴+a³+a²+a+1)
，第6个等式为
a⁷+1=(a+1)(a⁶-a⁵+a⁴-a³+a²-a+1)
；
(2)计算：
① $(3-1)×(3^{5}+3^{4}+3^{3}+3^{2}+3+1)=$
728
，
② $3^{6}-3^{5}+3^{4}-3^{3}+3^{2}-3+1=$
547
；
(3)计算：$(4^{10}+2^{10})+(4^{9}-2^{9})+(4^{8}+2^{8})+(4^{7}-2^{7})+···+(4^{2}+2^{2})+4$.
答案：25.(1)a⁶ - 1 = (a - 1)(a⁵ + a⁴ + a³ + a² + a + 1)
a⁷ + 1 = (a + 1)(a⁶ - a⁵ + a⁴ - a³ + a² - a + 1)
(2)①728 解析：(3 - 1)×(3⁵ + 3⁴ + 3³ + 3² + 3 + 1) = 3⁶ - 1 = 728。
②547 解析：3⁶ - 3⁵ + 3⁴ - 3³ + 3² - 3 + 1 = $\frac{1}{4}$×(3 + 1)×(3⁶ - 3⁵ + 3⁴ - 3³ + 3² - 3 + 1) = $\frac{1}{4}$×(3⁷ + 1) = 547。
(3)(4¹⁰ + 2¹⁰) + (4⁹ - 2⁹) + (4⁸ + 2⁸) + (4⁷ - 2⁷) +... + (4² + 2²) + 4 = 4¹⁰ + 2¹⁰ + 4⁹ - 2⁹ + 4⁸ + 2⁸ + 4⁷ - 2⁷ +... + 4² + 2² + 4 = (4¹⁰ + 4⁹ + 4⁸ + 4⁷ +... + 4² + 4 + 1) + (2¹⁰ - 2⁹ + 2⁸ - 2⁷ +... + 2² - 2 + 1) = $\frac{1}{3}$×(4 - 1)×(4¹⁰ + 4⁹ + 4⁸ + 4⁷ +... + 4² + 4 + 1) + $\frac{1}{3}$×(2 + 1)×(2¹⁰ - 2⁹ + 2⁸ - 2⁷ +... + 2² - 2 + 1) = $\frac{1}{3}$×(4¹¹ - 1) + $\frac{1}{3}$×(2¹¹ + 1) = $\frac{1}{3}$(4¹¹ + 2¹¹)。
