1. 下列因式分解正确的是(
B
)
A.$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}$
B.$4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)$
C.$x^{2}+2x-3=x(x+2)-3$
D.$m(a-3)-2(3-a)=(m-2)(3-a)$
答案：1.B
2. 若一个多项式因式分解后的一个因式为$x-2$，则这个多项式可能是(
A
)
A.$x^{2}-4$
B.$x^{2}-2$
C.$x^{2}+2x$
D.$x^{2}+4x+4$
答案：2.A
3. 若多项式$a^{2}+b^{2}+A$可以用平方差公式因式分解，则$A$表示的单项式可以是(
C
)
A.$2bc$
B.$-2ab$
C.$-5b^{2}$
D.$9b^{2}$
答案：3.C
解析：
平方差公式为$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$。多项式$a^{2}+b^{2}+A$需化为两项平方差形式。
选项A：$a^{2}+b^{2}+2bc=a^{2}+(b+c)^{2}$，是和的平方，不符合。
选项B：$a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}$，是差的平方，不符合。
选项C：$a^{2}+b^{2}-5b^{2}=a^{2}-4b^{2}=a^{2}-(2b)^{2}$，符合平方差公式。
选项D：$a^{2}+b^{2}+9b^{2}=a^{2}+10b^{2}$，不能用平方差公式。
C
4. 将多项式$4x^{2}+1$再加上一项，使它能分解因式成$(a+b)^{2}$的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是(
A
)
A.$2x$
B.$-4x$
C.$4x^{4}$
D.$4x$
答案：4.A
5. 若$A=3x^{2}-2xy+2$，$B=2x^{2}-y^{2}+1$，则$A$，$B$之间的大小关系为(
B
)
A.$A\geqslant B$
B.$A＞B$
C.$A\leqslant B$
D.$A＜B$
答案：5.B
解析：
$A-B=(3x^{2}-2xy+2)-(2x^{2}-y^{2}+1)$
$=3x^{2}-2xy+2-2x^{2}+y^{2}-1$
$=x^{2}-2xy+y^{2}+1$
$=(x-y)^{2}+1$
因为$(x-y)^{2}\geqslant0$，所以$(x-y)^{2}+1\geqslant1＞0$，即$A-B＞0$，故$A＞B$。
B
6. 若$k$为任意整数，则$(2k+5)^{2}-(2k-3)^{2}$的值总能(
D
)
A.被10整除
B.被12整除
C.被15整除
D.被16整除
答案：6.D
解析：
$(2k+5)^{2}-(2k-3)^{2}$
$=[(2k+5)+(2k-3)][(2k+5)-(2k-3)]$
$=(4k+2)(8)$
$=8(4k+2)$
$=16(2k+1)$
因为$k$为整数，所以$2k+1$为整数，$16(2k+1)$能被16整除。
D
7. (2024·广西)如果$a+b=3$，$ab=1$，那么$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为(
D
)
A.0
B.1
C.4
D.9
答案：7.D
解析：
$\begin{aligned}a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}&=ab(a^{2} + 2ab + b^{2})\\&=ab(a + b)^{2}\\\because a + b = 3, ab = 1\\\therefore 原式&=1×3^{2}\\&=9\end{aligned}$
D
8. 若$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，且$a^{2}+ab+c^{2}-bc=2ac$，则$\triangle ABC$的形状是(
A
)
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
答案：8.A
解析：
已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，且$a^{2}+ab+c^{2}-bc=2ac$，移项可得$a^{2}-2ac + c^{2}+ab - bc=0$，即$(a - c)^{2}+b(a - c)=0$，因式分解得$(a - c)(a - c + b)=0$。因为三角形任意两边之和大于第三边，所以$a + b - c＞0$，则$a - c=0$，即$a = c$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
A
9. 在日常生活中，取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便. 原理如下：对多项式$x^{4}-y^{4}$因式分解的结果是$(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})$. 若取$x=9$，$y=9$，则各个因式的值是$x-y=0$，$x+y=18$，$x^{2}+y^{2}=162$，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 对于多项式$x^{3}-xy^{2}$，取$x=52$，$y=28$，用上述方法产生的密码不可能是(
B
)
A.528024
B.522824
C.248052
D.522480
答案：9.B
解析：
$x^{3}-xy^{2}=x(x^{2}-y^{2})=x(x-y)(x+y)$
当$x=52$，$y=28$时，
$x-y=52-28=24$，
$x+y=52+28=80$，
各因式的值为$x=52$，$x-y=24$，$x+y=80$，
可能的排列组合：522480，528024，245280，248052，805224，802452，
故不可能是522824。
B
10. 已知$a$，$b$，$c$是正整数，$a＞b$，且$a^{2}-ab-ac+bc=11$，则$a-c$的值为(
D
)
A.$-1$
B.$-1$或$-11$
C.1
D.1或11
答案：10.D 解析：因为a² - ab - ac + bc = 11，所以a(a - b) - c(a - b) = (a - c)(a - b) = 11。因为a＞b，所以a - b＞0，即a - c＞0。又11 = 1×11，且a,b,c是正整数，所以a - c = 1或11。
11. 分解因式：
(1)(2025·山东青岛)$3x^{2}-3y^{2}=$
3(x+y)(x-y)
；
(2)(2025·山东烟台)$2x^{2}-12xy+18y^{2}=$
2(x-3y)²
.
答案：11.(1)3(x + y)(x - y) (2)2(x - 3y)²
解析：
(1) $3(x+y)(x-y)$
(2) $2(x-3y)^{2}$
