23. (8 分)如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = AD $，$ CB = CD $，$ E $ 是 $ CD $ 上一点，连接 $ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ F $，连接 $ DF $.
(1)求证：$ \angle BAC = \angle DAC $，$ \angle AFD = \angle CFE $；
(2)若 $ AB // CD $，求证：四边形 $ ABCD $ 是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定点 $ E $ 的位置，使 $ \angle EFD = \angle BCD $，并说明理由.
答案：23.(1)因为AB=AD，CB=CD，CA=CA，所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠BAC=∠DAC.又AF=AF，所以△ABF≌△ADF(SAS).所以∠AFB=∠AFD.因为∠AFB=∠CFE，所以∠AFD=∠CFE. (2)因为AB//CD，所以∠BAC=∠ACD.由(1)，得∠BAC=∠DAC，所以∠DAC=∠ACD.所以AD=CD.又AD=AB，CB=CD，所以AB=CD=CB=AD.所以四边形ABCD是菱形. (3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由如下：由(2)，得四边形ABCD是菱形，所以BC=CD，∠BCF=∠DCF.又CF=CF，所以△BCF≌△DCF(SAS).所以∠CBF=∠CDF.又∠EFD=∠BCD，∠BED=∠BCD+∠CBF，∠CEF=∠CDF+∠EFD，所以∠BED=∠CEF.又∠BED+∠CEF=180°，所以∠BED=∠CEF=90°，即BE⊥CD.
解析：
(1)证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD\\ CB=CD\\ CA=CA\end{array} $
$\therefore \triangle ABC≌\triangle ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore \angle BAC=\angle DAC$
在$\triangle ABF$和$\triangle ADF$中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD\\ \angle BAF=\angle DAF\\ AF=AF\end{array} $
$\therefore \triangle ABF≌\triangle ADF(\mathrm{SAS})$
$\therefore \angle AFB=\angle AFD$
$\because \angle AFB=\angle CFE$
$\therefore \angle AFD=\angle CFE$
(2)证明：$\because AB// CD$
$\therefore \angle BAC=\angle ACD$
由(1)得$\angle BAC=\angle DAC$
$\therefore \angle DAC=\angle ACD$
$\therefore AD=CD$
$\because AB=AD$，$CB=CD$
$\therefore AB=BC=CD=AD$
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形
(3)当$BE⊥ CD$时，$\angle EFD=\angle BCD$。
理由如下：
$\because$四边形$ABCD$是菱形
$\therefore BC=CD$，$\angle BCF=\angle DCF$
在$\triangle BCF$和$\triangle DCF$中，
$\{\begin{array}{l} BC=CD\\ \angle BCF=\angle DCF\\ CF=CF\end{array} $
$\therefore \triangle BCF≌\triangle DCF(\mathrm{SAS})$
$\therefore \angle CBF=\angle CDF$
$\because \angle EFD=\angle BCD$，$\angle BED=\angle BCD+\angle CBF$，$\angle BED=\angle EFD+\angle CDF$
$\therefore \angle BED=\angle BED$
$\because \angle BED+\angle CEB=180°$
$\therefore \angle BED=90°$，即$BE⊥ CD$
24. (8 分)已知在矩形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ M $ 为 $ CD $ 所在直线上的两点，点 $ E $ 在点 $ D $ 的右侧，点 $ M $ 在点 $ C $ 的左侧，且 $ CM = DE $，连接 $ AE $，$ P $ 为线段 $ AE $ 的中点，连接 $ BP $ 并延长，与射线 $ AD $ 交于点 $ F $，连接 $ FM $.
(1)如图①，若点 $ E $ 在 $ DC $ 的延长线上，求证：$ \angle DMF = \angle ABF $；
(2)如图②，若点 $ E $ 在 $ CD $ 上.
①依题意补全图形；
②问题(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.
答案：24.(1)设BF交CD于点N.因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD，AB//CD，∠ADC=∠DAB=90°，即DF⊥MN.所以∠PEN=∠PAB，∠ABP=∠ENP.又P为线段AE的中点，所以AP=EP.所以△APB≌△EPN(AAS).所以AB=EN，即CD=AB=EN.所以CD - CN=EN - CN，即DN=CE.因为CM=DE，所以CM - CD=DE - CD，即DM=CE.所以DN=DM.所以∠FNM=∠DMF.因为∠FNM=∠ENP，所以∠DMF=∠ABF. (2)①补全图形如图所示:
②结论仍然成立. 理由如下：如图，延长BF，CD交于点N.因为P为线段AE的中点，所以AP=PE.由(1)，得AB//CD，AB=CD，FD⊥MN，所以∠PEN=∠PAB，∠2=∠N.所以△APB≌△EPN(AAS).所以AB=EN，即CD=AB=EN.所以CD - DE=EN - DE，即CE=DN.又DE=CM，所以DE+EM=CM+EM，即DM=CE.所以DN=DM.因为FD⊥MN，所以FN=FM.所以∠N=∠1，即∠1=∠2.所以∠DMF=∠ABF.
