20. (8 分)如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ BC $ 上一点，且 $ EA = EF $，$ DA = DF $，连接 $ AF $，$ DE $ 交于点 $ G $，且 $ \angle BAF = \angle ADE $.
(1)求证：四边形 $ ABCD $ 是矩形；
(2)若 $ BF = 4 $，$ CD = 12 $，求 $ DF $ 的长.
答案：20.(1)因为EA=EF，DA=DF，所以DE垂直平分AF.所以∠AGD=90°，即∠ADE+∠DAF=90°.因为∠BAF=∠ADE，所以∠BAF+∠DAF=90°，即∠BAD=90°.因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形. (2)由(1)，得四边形ABCD是矩形，所以BC=DA，∠C=90°.因为DA=DF，所以BC=DF.因为BF=4，所以CF=BC - BF=DF - 4.在Rt△DCF中，CD=12，由勾股定理，得$CF^2$+$CD^2$=$DF^2$，所以$(DF - 4)^2$+$12^2$=$DF^2$，解得DF=20.所以DF的长是20.
解析：
(1)证明：因为 $EA = EF$，$DA = DF$，所以 $DE$ 垂直平分 $AF$，因此 $\angle AGD = 90°$，即 $\angle ADE + \angle DAF = 90°$。又因为 $\angle BAF = \angle ADE$，所以 $\angle BAF + \angle DAF = 90°$，即 $\angle BAD = 90°$。由于四边形 $ABCD$ 是平行四边形，故四边形 $ABCD$ 是矩形。
(2)由(1)知四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $BC = DA$，$\angle C = 90°$。因为 $DA = DF$，所以 $BC = DF$。已知 $BF = 4$，则 $CF = BC - BF = DF - 4$。在 $\mathrm{Rt}\triangle DCF$ 中，$CD = 12$，由勾股定理得 $CF^2 + CD^2 = DF^2$，即 $(DF - 4)^2 + 12^2 = DF^2$，解得 $DF = 20$。所以 $DF$ 的长是 $20$。
21. (8 分)(2025·江苏徐州)为了解某景区外地自驾游客的分布情况(苏指除徐州外其他江苏城市)，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如图所示的统计图(不完整)：
根据图中信息，解答下列问题.
(1)小桐共调查了
150
辆车，“豫”对应扇形圆心角的度数为
36
$ ^{\circ} $；
(2)补全条形统计图；
(3)若该景区附近宾馆停车场当日共有 450 辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？
答案：21.(1)150 36 解析：由题图，得小桐共调查了75÷50%=150(辆)车，则“豫”对应扇形圆心角的度数为$360°$×$\frac{15}{150}$=$36°$. (2)由(1)，得小桐共调查了150辆车，则其中车牌号归属地为“鲁”的车辆数为150×18%=27.所以补全条形统计图如图所示: 不同归属地的车辆数条形统计图
(3)因为450×$\frac{21}{150}$=63，所以估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有63辆.
22. (8 分)已知在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC = 6 $，$ D $，$ E $ 两点分别在边 $ AB $，$ AC $ 上，且 $ AD = AE = 2 $，连接 $ DE $，$ CD $，$ BE $，$ P $，$ Q $，$ M $，$ N $ 四点分别是 $ DE $，$ BC $，$ CD $，$ BE $ 的中点，连接 $ PM $，$ MQ $，$ QN $，$ PN $(如图①)，把 $ \triangle ADE $ 绕点 $ A $ 在平面内自由旋转(如图②).
(1)请你判断四边形 $ PMQN $ 的形状，并说明理由；
(2)请直接写出四边形 $ PMQN $ 面积的最大值.
答案：22.(1)四边形PMQN是正方形. 理由如下：如图，连接CE，BD，延长CE交BD于点H，交AB于点O.由题意，得∠DAE=∠BAC=90°，所以∠DAE - ∠BAE=∠BAC - ∠BAE，即∠BAD=∠CAE.因为AE=AD，AC=AB，所以△CAE≌△BAD(SAS).所以CE=BD，∠ACE=∠ABD.因为∠ACO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，所以∠ABD+∠BOH=90°.又∠ABD+∠BOH+∠CHB=180°，所以∠CHB=180° - (∠ABD+∠BOH)=90°，即CH⊥BD.因为P，Q，M，N分别为DE，BC，DC，BE的中点，所以PM=$\frac{1}{2}$CE，QN=$\frac{1}{2}$CE，PM//CE，MQ=$\frac{1}{2}$BD，PN=$\frac{1}{2}$BD，PN//BD.所以PM=MQ=PN=QN，PM⊥PN.所以四边形PMQN是正方形. (2)四边形PMQN面积的最大值是16. 解析：因为AC=6，AE=2，所以CE≤AC+AE=8，即CE的长的最大值是8.由(1)，得四边形PMQN是正方形，且PM=$\frac{1}{2}$CE，所以PM的长的最大值为4.所以正方形PMQN面积的最大值是$4^2$=16.
