23. (8分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，P是边AD上一点(与A，D两点不重合)，PE的延长线与BC的延长线交于点Q.
(1)求证：E是PQ的中点；
(2)连接PB，F是PB的中点，连接EF，AF，当PB=PQ时.
① 求证：四边形AFEP是平行四边形；
② 求AP的长.
答案：23.(1)因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=∠BCD=∠D=90°，AD//BC.又∠BCD+∠ECQ=180°，所以∠ECQ=90°，即∠D=∠ECQ=90°.因为E是CD的中点，所以DE=CE.又∠DEP=∠CEQ，所以△PDE≌△QCE(ASA).所以PE=QE，即E是PQ的中点.
(2)①由(1)，得AD//BC，∠BAD=90°，E是PQ的中点，所以PE=QE=$\frac{1}{2}$PQ.因为F是BP的中点，所以PF=AF=$\frac{1}{2}$PB，EF是△PBQ的中位线，即∠FAP=∠APF，EF=$\frac{1}{2}$BQ，EF//BQ.所以EF//AD，即∠APF=∠PFE.因为PB=PQ，所以PF=PE，即AF=PF=PE.所以∠PEF=∠PFE，即∠FAP=∠PEF.因为PF=FP，所以△APF≌△EFP(AAS).所以AP=EF.所以四边形AFEP是平行四边形.
②设AP=x.又四边形ABCD是边长为2的正方形，所以AD=BC=2.则PD=2 - x.由(1)和(2)①，得△PDE≌△QCE，EF=$\frac{1}{2}$BQ，四边形AFEP是平行四边形，所以CQ=PD=2 - x，EF=AP=x.所以BQ=BC+CQ=4 - x，即EF=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{4 - x}{2}$.所以x=$\frac{4}{3}$.所以AP的长为$\frac{4}{3}$.
24. (8分)(新趋势
推导探究)已知在菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=60°，∠EAF=60°，∠EAF的两边分别交直线BC，CD于E，F两点.
(1)如图①，当E，F两点分别在边BC，CD上时，求CE+CF的值；
(2)如图②，当E，F两点分别在CB，DC的延长线上时，CE，CF之间存在怎样的数量关系？证明你的结论.
答案：24.(1)连接AC.因为四边形ABCD是菱形，∠B=60°，所以AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=60°，即△ABC，△ACD都是等边三角形.所以∠BAC=∠ACD=60°.又AB=5，所以AC=BC=AB=5.因为∠EAF=60°，所以∠BAC - ∠CAE=∠EAF - ∠CAE，即∠BAE=∠CAF.又AB=AC，∠B=∠ACF=60°，所以△ABE≌△ACF(ASA).所以BE=CF.所以CE+CF=CE+BE=BC=5.
(2)CE - CF=5.证明如下：连接AC.同(1)，得△ABC，△ACD都是等边三角形，所以∠BAC=∠ACD=60°，AC=BC=AB=5.因为∠EAF=60°，所以∠EAF - ∠BAF=∠BAC - ∠BAF，即∠EAB=∠FAC.又∠ABC+∠ABE=180°，∠ACD+∠ACF=180°，∠ABC=60°，所以∠ABE=∠ACF.所以△ABE≌△ACF(ASA).所以BE=CF.所以CE - CF=CE - BE=BC=5.
