21. (8分)(2025·山东青岛)如图，在□ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG//AF交FE的延长线于点G，连接AG.
(1)求证：△AEF≌△BEG；
(2)已知
①
(从以下两个条件中选择一个作为已知，填序号)，请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论.条件①：EF= $\frac{1}{2}$ CD；条件②：EF⊥CD.
答案：21.(1)因为BG//AF，所以∠AFE=∠BGE.又E为AB的中点，所以AE=BE.又∠AEF=∠BEG，所以△AEF≌△BEG(AAS).
(2)选①.四边形AGBF是矩形.证明如下：由(1)，得AE=BE，△AEF≌△BEG，所以EF=EG，即四边形AGBF是平行四边形，EF=$\frac{1}{2}$GF.又EF=$\frac{1}{2}$CD，所以CD=GF.又四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，即AB=GF.所以四边形AGBF是矩形.(或选②.四边形AGBF是菱形.证明如下：由(1)，得AE=BE，△AEF≌△BEG，所以EF=EG，即四边形AGBF是平行四边形.又四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD.又EF⊥CD，所以EF⊥AB，即四边形AGBF是菱形)
22. (8分)如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边AD上，连接FE并延长，交CB的延长线于点G，连接BF，AG.
(1)如果∠AFG=∠C，求证：四边形AGBF是矩形；
(2)如果F是边AD的中点，且∠AFG= $\frac{1}{2}$ ∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形.
答案：22.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，∠BAD=∠C，即∠AFE=∠BGE，∠FAE=∠GBE.又∠AFG=∠C，所以∠AFG=∠BAD，即AE=EF.又E是边AB的中点，所以AE=BE.所以△AEF≌△BEG(AAS).所以EF=EG，即AB,FG互相平分，BE=AE=EF=EG.所以AB=FG.所以四边形AGBF是矩形.
(2)连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点，所以EF//BD.所以∠AFG=∠ADB.又∠AFG=$\frac{1}{2}$∠ADC，所以∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC，即∠ADB=∠CDB.由(1)，得AD//BC，所以∠ADB=∠CBD，即∠CDB=∠CBD.所以CB=CD.所以四边形ABCD是菱形.
