16. (新素养
推理能力)如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，P是BC延长线上一点，过点P作PE//AC，交BA的延长线于点E，过点P作PF//BD，交DC的延长线于点F，则PE-PF的值是
$\sqrt{5}$
.
答案：16.$\sqrt{5}$
解析：
证明：在矩形$ABCD$中，$AB=1$，$BC=2$，则$AC=BD=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
设$CP=x$，则$BP=BC + CP=2 + x$。
因为$PE// AC$，所以$\triangle EBP∼\triangle ABC$，$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PE}{\sqrt{5}}=\frac{2 + x}{2}$，解得$PE=\frac{\sqrt{5}(2 + x)}{2}$。
因为$PF// BD$，所以$\triangle PCF∼\triangle BCD$，$\frac{PF}{BD}=\frac{CP}{BC}$，即$\frac{PF}{\sqrt{5}}=\frac{x}{2}$，解得$PF=\frac{\sqrt{5}x}{2}$。
则$PE - PF=\frac{\sqrt{5}(2 + x)}{2}-\frac{\sqrt{5}x}{2}=\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2，D是边AC的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转90°得到线段DF，连接AF，EF，在点E的运动过程中，线段AF的长的最小值为
$\sqrt{3}$ + 1
.
答案：17.$\sqrt{3}$ + 1 解析：如图，过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FJ⊥DM于点J，延长FJ交AB于点N，则∠DMC=∠DMB=∠FJD=∠MJN=90°.又∠ABC=90°，所以四边形BMJN是矩形，即JN=BM.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2，所以AC=2BC=4.又∠ABC=∠DMC=90°，所以DM//AB，即∠CDM=∠BAC=30°.又D是AC的中点，所以DM是△ABC的中位线，CD=$\frac{1}{2}$AC=2，即M是BC的中点.所以BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1，即JN=1.在Rt△CDM中，由勾股定理，得DM=$\sqrt{CD^{2}-CM^{2}}$=$\sqrt{3}$.由旋转的性质，得∠EDF=90°，DE=DF，所以∠FDJ+∠EDM=90°.又∠EDM+∠DEM=90°，所以∠FDJ=∠DEM.所以△FJD≌△DME(AAS).所以FJ=DM=$\sqrt{3}$，即FN=FJ+JN=$\sqrt{3}$ + 1.所以点F在直线l上运动(直线l与直线AB之间的距离为$\sqrt{3}$ + 1).由垂线段最短，得当AF⊥直线l时，AF的长最小，且最小值为$\sqrt{3}$ + 1.
18. 如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B按顺时针方向旋转60°得到线段BP'，连接PP'，CP'.当点P'落在边BC上时，∠PP'C的度数为
120°
；当线段CP'的长最小时，∠PP'C的度数为
75°
.
答案：18.120° 75° 解析：由线段BP绕点B按顺时针方向旋转60°得到线段BP'，得∠PBP'=60°，BP=BP'，所以△BPP'为等边三角形.所以∠PP'B=60°.当点P'落在边BC上时，∠PP'C=180° - ∠PP'B=120°.如图，将线段BA绕点B按顺时针方向旋转60°，点A的对应点为点E，连接EP'.设EP'交BC于点G，则∠ABE=60°.又∠ABP=∠ABE - ∠PBE=60° - ∠PBE，∠EBP'=∠PBP' - ∠PBE=60° - ∠PBE，所以∠ABP=∠EBP'.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=∠A=90°.又BA=BE，BP=BP'，所以△ABP≌△EBP'(SAS).所以AP=EP'，∠E=∠A=90°，即点P'在射线EG上运动.又∠EBG=∠ABC - ∠ABE=30°，所以∠EGC=∠E+∠EBG=120°.当CP'⊥EP'时，CP'的长取最小值，此时∠CGP'=∠EGB=180° - ∠EGC=60°.所以△EBG和△P'CG均是各角度数为30°，60°，90°的直角三角形.设EG=x，BC=2y，则BG=2EG=2x，CG=BC - BG=2y - 2x，GP'=$\frac{1}{2}$CG=y - x.所以EP'=EG+GP'=x+(y - x)=y=$\frac{1}{2}$BC.又BC=2AB，所以AB=$\frac{1}{2}$BC，即EP'=AB.所以AB=AP，即△ABP为等腰直角三角形.所以∠EP'B=∠APB=45°，即∠EP'P=∠PP'B - ∠EP'B=15°.所以当CP'⊥EP'时，CP'的长取最小值，此时∠PP'C=∠EP'C - ∠EP'P=75°.
19. (6分)(2025·湖北武汉)如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD//BC.若
①
，则AD=CB.从① OA=OC，② ∠ABC=∠CDA，③ AB=CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.
答案：19.答案不唯一，如：选①.理由如下：因为AD//BC，所以∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO.又OA=OC，所以△AOD≌△COB(AAS).所以AD=CB.
解析：
选①.
证明：
∵AD//BC，
∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO.
又
∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB(AAS).
∴AD=CB.
20. (8分)如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，M，N分别为OB，OC的中点，连接EM，DN.
(1)求证：MD和NE互相平分；
(2)若BD⊥AC，OC²=32，OD+CD=7，求△OBC的面积.
答案：20.(1)连接MN,DE.因为M,N分别是OB,OC的中点，所以MN//BC，MN=$\frac{1}{2}$BC.又BD,CE是△ABC的中线，所以D是AC的中点，E是AB的中点.所以DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC.所以DE//MN，DE=MN.所以四边形DEMN是平行四边形，即MD和NE互相平分.
(2)因为BD⊥AC，所以∠ODC=∠BDC=90°.在Rt△COD中，OC² = 32，由勾股定理，得OD² + CD² = OC²，所以OD² + CD² = 32.又OD + CD = 7，所以(OD + CD)² = 49，即2OD·CD=(OD + CD)² - (OD² + CD²)=17.由(1)，得MD和NE互相平分，所以OM=OD.又M是OB的中点，所以OB=2OM，即OB=2OD.所以△OBC的面积为$\frac{1}{2}$OB·CD=$\frac{1}{2}$×2OD·CD=$\frac{17}{2}$.
