7. 如图，四边形ABCD是正方形，E是线段CF上一点.若四边形DBEF是菱形，则∠EBC的度数为(
A
)
A.15°
B.22.5°
C.30°
D.25°
答案：7.A
解析：
证明：连接AC，交BD于点O，过点E作EH⊥BC于点H。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD=OC，∠OBC=45°，∠BCD=90°。
∵四边形DBEF是菱形，
∴BD=BE，BD//EF。
∵EH⊥BC，∠BCD=90°，
∴EH=OC= $\frac{1}{2}$BD= $\frac{1}{2}$BE。
在Rt△BEH中，EH= $\frac{1}{2}$BE，
∴∠EBH=30°。
∵∠OBC=45°，
∴∠EBC=∠OBC - ∠EBH=45° - 30°=15°。
答案：A
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，连接DE，CE，F为CE上一动点，P为DF的中点，连接PB，则PB的长的最小值是(
D
)
A.2
B.4
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{8}$
答案：8.D 解析：分别取DE,CD的中点P₁,P₂，连接PP₁,PP₂,P₁P₂,P₂B，则P₁P₂//CE.因为四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=2，所以∠BCD=∠ABC=90°，CD=AB=4，BC=AD=2，即CP₂=DP₂=$\frac{1}{2}$CD=2.又E为AB的中点，所以AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，即BE=BC.所以△BCE是等腰直角三角形，即∠BCE=45°.所以∠DCE=90° - ∠BCE=45°.又P₁P₂//CE，所以∠P₁P₂C+∠DCE=180°，即∠P₁P₂C=180° - ∠DCE=135°.同理，得△BCP₂是等腰直角三角形，所以∠CP₂B=45°，即∠BP₂P₁=∠P₁P₂C - ∠CP₂B=90°.所以BP₂⊥PP₂.在Rt△BCP₂中，由勾股定理，得BP₂=$\sqrt{BC^{2}+CP_{2}^{2}}$=$\sqrt{8}$.又P是DF的中点，所以PP₂//CF，PP₁//EF.又C,F,E三点共线，所以P₁,P₂,P三点共线，即点P在线段P₁P₂上.所以当BP⊥P₁P₂时，PB的长最小，即当P,P₂两点重合时，PB的长最小，且最小值为BP₂的长.所以PB的长的最小值是$\sqrt{8}$.
9. (2025·黑龙江大庆)如图，在正方形ABCD中，AB= $\sqrt{18}$，E，F两点分别在线段AB，BC上，且AE=CF= $\sqrt{2}$，连接EF，AC，过E，F两点分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H，动点P在△ACD内部及边界上运动，记四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S₀，S₁，S₂，S₃，S₄.若点P在运动中始终满足3S₀=S₁+S₂+S₃+S₄，则满足条件的所有点P组成的图形长为(
A
)
A.2
B.$\frac{3}{2}$π
C.4
D.2π
答案：9.A 解析：因为四边形ABCD是正方形，AB=$\sqrt{18}$，所以∠B=∠ADC=90°，∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=45°，AD=CD=BC=AB=$\sqrt{18}$.又EG⊥AC，FH⊥AC，所以∠EGH=∠EGA=∠FHC=∠FHG=90°，即∠BCA+∠CFH=90°，∠BAC+∠AEG=90°，所以∠AEG=∠CFH=∠BCA=∠BAC=45°，即AG=EG，CH=FH.又AE=CF=$\sqrt{2}$，所以AB - AE=BC - CF，即BE=BF.所以△BEF是等腰直角三角形.所以∠BEF=∠BFE=45°.又∠BEF+∠GEF+∠AEG=180°，所以∠GEF=180° - ∠BEF - ∠AEG=90°，即四边形EFHG是矩形.所以EF=GH，EG=FH.在Rt△AEG中，由勾股定理，得AG² + EG² = AE²，所以2EG² = 2，解得EG=1(负值已舍去).所以AG=EG=CH=FH=1.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=6，所以GH=AC - AG - CH=4.所以S₀=EG·GH=4.又S矩形EFHG + S△PGH=S△PEG + S△PEF + S△PFH，所以S₀ + S₄=S₁ + S₂ + S₃.又3S₀=S₁ + S₂ + S₃ + S₄，所以S₀=S₄，即S△PGH=4.过点P分别作PQ⊥AC于点Q，MN//AC分别交AD,CD于M,N两点，则S△PGH=$\frac{1}{2}$GH·PQ.所以PQ=$\frac{2S_{\triangle PGH}}{GH}$=2.所以满足条件的所有点P组成的图形为线段MN.过点D作DK⊥AC于点K，交MN于点L，则DK=$\frac{1}{2}$AC=3，KL=2.所以DL=1.又MN//AC，所以DL⊥MN，∠DMN=∠DAC=45°，∠DNM=∠DCA=45°，即∠DMN=∠DNM.所以DM=DN，即MN=2DL=2.所以满足条件的所有点P组成的图形长为2.
10. (亮点原创)如图，在等边三角形ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，BD=5，CE=3，连接DE.若M，N分别为线段DE，BC的中点，连接MN，则线段MN的长为(
B
)
A.7
B.$\frac{7}{2}$
C.8
D.4
答案：10.B 解析：过点C作CF//AB，连接DN并延长，交CF于点F，过点E作EG⊥CF于点G，连接EF，则∠B=∠BCF，∠EGC=90°.因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠ACB=60°，即∠BCF=60°.又∠ACF=∠ACB+∠BCF=120°，∠ACF=∠CEG+∠EGC，所以∠CEG=120° - ∠EGC=30°，即CG=$\frac{1}{2}$CE.又CE=3，所以CG=$\frac{3}{2}$.在Rt△CEG中，由勾股定理，得EG²=CE² - CG²=$\frac{27}{4}$.又N是BC的中点，所以BN=CN.又∠BND=∠CNF，所以△BND≌△CNF(ASA).所以DN=FN，BD=CF，即N是DF的中点.又BD=5，所以CF=5，即FG=CF+CG=$\frac{13}{2}$.在Rt△EFG中，由勾股定理，得EF=$\sqrt{EG^{2}+FG^{2}}$=7.又M是DE的中点，所以MN=$\frac{1}{2}$EF.所以MN=$\frac{7}{2}$.
11. (2025·新疆)如图，在□ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E.若AD=2，则BE=
2
.
答案：11.2
解析：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC=2，AB//CD，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC=2.
故答案为：2.
12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF，CF，∠AFC=90°.若AC=6，BC=10，则DF的长为
8
.
答案：12.8
解析：
证明：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} × 10 = 5$，AE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2} × 6 = 3$。
∵∠AFC = 90°，E是AC的中点，
∴EF = $\frac{1}{2}$AC = 3。
∴DF = DE + EF = 5 + 3 = 8。
8
13. (亮点原创)如图，在等腰梯形ABCD中，连接AC，BD，过点B作BE//AC，交DC的延长线于点E.若梯形ABCD的面积为24，高为4，则AC的长为
$\sqrt{52}$
.
答案：13.$\sqrt{52}$
解析：
证明：
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB//CD，AD=BC，AC=BD。
∵BE//AC，AB//CD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，AB=CE。
梯形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}(AB+CD)×$高$=24$，高为4，
则$\frac{1}{2}(AB+CD)×4=24\Rightarrow AB+CD=12$。
∵DE=DC+CE=DC+AB=12，
又
∵$S_{\triangle BDE}=S_{\mathrm{梯形}ABCD}=24$（同底等高），
$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}× DE×$高$=\frac{1}{2}×12×4=24$，
在$\triangle BDE$中，BD=BE=AC，高为4，底DE=12，
设AC=BD=BE=x，
过B作BF⊥DE于F，则BF=4，DF=FE=6，
在Rt$\triangle BFE$中，$x^2=6^2+4^2=36+16=52\Rightarrow x=\sqrt{52}$。
故AC的长为$\sqrt{52}$。
$\sqrt{52}$
14. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于H，G两点，则BG=
1
.
答案：14.1
解析：
解：以点$A$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
正方形$ABCD$边长为$8$，则$A(0,0)$，$B(8,0)$，$C(8,8)$，$D(0,8)$。
$E$是$CD$中点，$C(8,8)$，$D(0,8)$，故$E(4,8)$。
直线$AE$的斜率$k_{AE}=\frac{8 - 0}{4 - 0}=2$，方程为$y = 2x$。
$HG$垂直平分$AE$，$H$为$AE$中点，$H(\frac{0 + 4}{2},\frac{0 + 8}{2})=(2,4)$。
$HG$斜率$k_{HG}=-\frac{1}{k_{AE}}=-\frac{1}{2}$，方程为$y - 4=-\frac{1}{2}(x - 2)$，即$y=-\frac{1}{2}x + 5$。
$G$在$BC$上，$BC$方程为$x = 8$，代入$HG$方程得$y=-\frac{1}{2}×8 + 5=1$，故$G(8,1)$。
$B(8,0)$，$G(8,1)$，则$BG=1 - 0=1$。
1
15. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，OA=OC=4，OB=OD=3，P为线段AC上一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥CD于点N，连接PB.在点P的运动过程中，PM+PN+PB的最小值为
7.8
.
答案：15.7.8
解析：
解：
∵AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3，
∴AD=CD=√(OA²+OD²)=√(4²+3²)=5，AC=8，BD=6，
S△ADC=1/2×AC×OD=1/2×8×3=12.
设AP=x，则PC=8-x，
S△ADP+S△CDP=S△ADC，
即1/2×AD×PM + 1/2×CD×PN = 12，
∵AD=CD=5，
∴1/2×5×PM + 1/2×5×PN = 12，
∴PM+PN=24/5=4.8.
要使PM+PN+PB最小，即4.8+PB最小，
当PB⊥AC时，PB最小，此时PB=OB=3，
∴PM+PN+PB的最小值为4.8+3=7.8.
7.8
