解：
∵菱形ABCD面积为20，AG⊥BC，AG=4，
∴BC=20÷4=5，即菱形边长为5。
∵两个完全相同的直角梯形拼成菱形ABCD，
∴AD=BC=5，且AD=AF+FD，BC=BG+GE+EC。
由梯形全等及图形对称性，得AF=BG，FD=EC，GE=AG=4（矩形AFEG中AG=FE=4）。
设DF=x，则EC=x，BG=AF=AD-FD=5-x。
∵BC=BG+GE+EC，
∴5=(5-x)+4+x，等式恒成立，且GE=4=DF。
故DF=4。
答案：B

证明：连接BD。
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
∵EF=4，
∴BD=8。
∵BC=10，CD=6，BD=8，
∴BD²+CD²=8²+6²=64+36=100=10²=BC²，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°。
∵EF//BD，
∴∠AFE=∠ADB=52°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=52°+90°=142°。
答案：B

证明：过点$P$作$EF ⊥ AB$于点$E$，交$CD$于点$F$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB = CD$，$AB // CD$，$EF$为平行四边形$ABCD$的高。
$S_1=\frac{1}{2}AB · PE$，$S_3=\frac{1}{2}CD · PF$，
∵$AB = CD$，$EF = PE + PF$，
∴$S_1 + S_3=\frac{1}{2}AB(PE + PF)=\frac{1}{2}AB · EF=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
同理，过点$P$作$GH ⊥ AD$于点$G$，交$BC$于点$H$，
可得$S_2 + S_4=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$。
∴$S_1 + S_3 = S_2 + S_4$。
结论：D

证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，∠DAC=∠BCA=36°（菱形对角线平分一组对角），∠ABC+∠BAD=180°（平行四边形邻角互补）。
∵∠DAC=36°，
∴∠BAD=2∠DAC=72°，
∴∠ABC=180°-72°=108°。
∵AB//CD，
∴∠OAM=∠OCN，∠OMA=∠ONC。
又
∵AM=CN，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OA=OC，即O为AC中点。
∵BA=BC，
∴BO为等腰△ABC底边AC上的中线，
∴BO平分∠ABC（等腰三角形三线合一），
∴∠OBC=∠ABC/2=108°/2=54°。
答案：B

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，AD//BC，AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD.
①
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，AB=BE=AE.
∵AD=2AB，设AB=BE=AE=x，则AD=BC=2x，
∴EC=BC-BE=2x-x=x.
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠AEB=60°，
又AE=EC=x，
∴△AEC是等腰三角形，∠EAC=∠ECA.
∵∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=∠EAD-∠EAC=30°，①正确.
② 在△ACD中，∠ADC=60°，∠CAD=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=AD·cos30°=2x·$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$x，CD=AB=x，
BD=$\sqrt{AC^2+(2CD)^2}$=$\sqrt{(\sqrt{3}x)^2+(2x)^2}$=$\sqrt{7}$x，
OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x≠AB=x，②错误.
③ S₍□ABCD₎=CD·AC（
∵AC⊥CD），③正确.
④ S₍△AOD₎=$\frac{1}{4}$S₍□ABCD₎=$\frac{1}{4}$·AC·CD=$\frac{1}{4}$·$\sqrt{3}$x·x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
S₍四边形OECD₎=S₍△ACD₎-S₍△AOE₎=$\frac{1}{2}$AC·CD - $\frac{1}{2}$AE·OE·sin60°，
易证OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{x}{2}$，S₍△AOE₎=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²，
∴S₍四边形OECD₎=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x² - $\frac{\sqrt{3}}{8}$x²=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x²=$\frac{3}{2}$S₍△AOD₎，④正确.
⑤
∵∠CAD=30°，∠EAC=30°，
∴AC平分∠DAE，⑤正确.
综上，①③④⑤正确，共4个.
A