1. 已知$m$，$n$均为整数，且满足$n=$$\sqrt{\frac{5}{3}m - 1} - \sqrt{3 - m}$，则$m + n$的值为(
D
)
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案：1. D
解析：
要使根式有意义，则需满足：
$\begin{cases}\frac{5}{3}m - 1 \geq 0 \\3 - m \geq 0\end{cases}$
解第一个不等式：$\frac{5}{3}m \geq 1 \implies m \geq \frac{3}{5}$
解第二个不等式：$m \leq 3$
因为$m$为整数，所以$m$的可能取值为$1$，$2$，$3$。
当$m = 1$时：$\sqrt{\frac{5}{3}×1 - 1} = \sqrt{\frac{2}{3}}$，不是整数，舍去。
当$m = 2$时：$\sqrt{\frac{5}{3}×2 - 1} = \sqrt{\frac{7}{3}}$，不是整数，舍去。
当$m = 3$时：$\sqrt{\frac{5}{3}×3 - 1} = \sqrt{4} = 2$，$\sqrt{3 - 3} = 0$，则$n = 2 - 0 = 2$。
所以$m + n = 3 + 2 = 5$。
5
2. 已知$\sqrt{(x - 3)^2} - (\sqrt{2 - x})^2 = 2x$，则$x$的值为
$\frac{1}{2}$
。
答案：2. $\frac{1}{2}$
解析：
要使$\sqrt{2 - x}$有意义，则$2 - x \geq 0$，即$x \leq 2$。
此时$x - 3 ＜ 0$，所以$\sqrt{(x - 3)^2} = 3 - x$。
原方程可化为：$3 - x - (2 - x) = 2x$
化简得：$3 - x - 2 + x = 2x$
即：$1 = 2x$
解得：$x = \frac{1}{2}$
经检验，$x = \frac{1}{2}$满足$x \leq 2$，是原方程的解。
$\frac{1}{2}$
3. 若实数$m$满足等式$\sqrt{3x + 2y - 5 - m} + \sqrt{2x + 3y - m} = \sqrt{x - 811 + y} · \sqrt{811 - x - y}$，则$m=$
$2025$
。
答案：3. $2025$
解析：
要使等式右边有意义，需满足：
$\begin{cases}x - 811 + y \geq 0 \\811 - x - y \geq 0\end{cases}$
即$x + y = 811$。
此时等式右边为$\sqrt{811} · \sqrt{0} = 0$，则等式左边$\sqrt{3x + 2y - 5 - m} + \sqrt{2x + 3y - m} = 0$。
因为根号下的数非负，所以：
$\begin{cases}3x + 2y - 5 - m = 0 \\2x + 3y - m = 0\end{cases}$
两式相减得：$x - y - 5 = 0$，即$x - y = 5$。
联立$\begin{cases}x + y = 811 \\ x - y = 5\end{cases}$，解得$x = 408$，$y = 403$。
代入$2x + 3y - m = 0$，得$m = 2×408 + 3×403 = 816 + 1209 = 2025$。
$2025$
4. 若$\triangle ABC$的三边长$a$，$b$，$c$满足$9 + a^2 - 6a + |4 - b| = -\sqrt{c - 5}$，其中$a$，$b$，$c$分别是$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边长，试求该三角形的周长和面积。
答案：4. 由题意，得$(a - 3)^2 + |4 - b| + \sqrt{c - 5} = 0$，所以$a - 3 = 0,4 - b = 0,c - 5 = 0$，解得$a = 3,b = 4,c = 5$。所以$a^2 + b^2 = c^2$，即$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle C = 90°$。则$\triangle ABC$的周长为$3 + 4 + 5 = 12$，面积为$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
解析：
由题意，得$(a - 3)^2 + |4 - b| + \sqrt{c - 5} = 0$，所以$a - 3 = 0$，$4 - b = 0$，$c - 5 = 0$，解得$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$。因为$a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = c^2$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle C = 90°$。则$\triangle ABC$的周长为$3 + 4 + 5 = 12$，面积为$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
5. 若$
x ＜ 0$，则化简$\frac{\sqrt{(x - \sqrt{x^2})^2}}{x}$的结果是(
B
)
A.$0$
B.$-2$
C.$2x$
D.$-2x$
答案：5. B
解析：
因为$x ＜ 0$，所以$\sqrt{x^2} = |x| = -x$。
则$x - \sqrt{x^2} = x - (-x) = 2x$。
$\sqrt{(x - \sqrt{x^2})^2} = \sqrt{(2x)^2} = |2x|$，又因为$x ＜ 0$，所以$|2x| = -2x$。
因此，$\frac{\sqrt{(x - \sqrt{x^2})^2}}{x} = \frac{-2x}{x} = -2$。
B
6. 若$a$，$b$，$c$分别是三角形的三边长，化简：$\sqrt{(a + b - c)^2} + \sqrt{(b - c - a)^2} + \sqrt{(b + c - a)^2}$。
答案：6. 因为$a,b,c$分别是三角形的三边长，所以$a + b ＞ c,a + c ＞ b,b + c ＞ a$，即$a + b - c ＞ 0,b - c - a ＜ 0,b + c - a ＞ 0$。所以原式$= |a + b - c| + |b - c - a| + |b + c - a| = a + b - c - (b - c - a) + b + c - a = a + b - c - b + c + a + b + c - a = a + b + c$。
解析：
因为$a$，$b$，$c$分别是三角形的三边长，所以$a + b ＞ c$，$a + c ＞ b$，$b + c ＞ a$，即$a + b - c ＞ 0$，$b - c - a ＜ 0$，$b + c - a ＞ 0$。
原式$=|a + b - c| + |b - c - a| + |b + c - a|$
$=a + b - c - (b - c - a) + b + c - a$
$=a + b - c - b + c + a + b + c - a$
$=a + b + c$
7. 已知$a$，$b$，$c$均为实数，且$\sqrt{a^2} + a = 0$，$\frac{|ab|}{ab} = 1$，$\sqrt{c^2} = c$，化简：$\sqrt{b^2} - \sqrt{(a + b)^2} + |a - c| - \sqrt{(c - b)^2}$。
答案：7. 因为$\sqrt{a^2} + a = 0$，所以$\sqrt{a^2} = -a$，即$a \leq 0$。又$\frac{|ab|}{ab} = 1$，所以$ab ＞ 0$，即$a ＜ 0,b ＜ 0$。又$\sqrt{c^2} = c$，所以$c \geq 0$。所以$a + b ＜ 0,a - c ＜ 0,c - b ＞ 0$。所以$\sqrt{b^2} - \sqrt{(a + b)^2} + |a - c| - \sqrt{(c - b)^2} = -b + a + b + c - a - (c - b) = b$。
解析：
因为$\sqrt{a^2} + a = 0$，所以$\sqrt{a^2} = -a$，即$a \leq 0$。
又$\frac{|ab|}{ab} = 1$，所以$ab ＞ 0$，结合$a \leq 0$可得$a ＜ 0$，$b ＜ 0$。
又$\sqrt{c^2} = c$，所以$c \geq 0$。
因为$a ＜ 0$，$b ＜ 0$，所以$a + b ＜ 0$；因为$a ＜ 0$，$c \geq 0$，所以$a - c ＜ 0$；因为$c \geq 0$，$b ＜ 0$，所以$c - b ＞ 0$。
则$\sqrt{b^2} - \sqrt{(a + b)^2} + |a - c| - \sqrt{(c - b)^2}$
$= |b| - |a + b| + |a - c| - |c - b|$
$= -b - [-(a + b)] + (c - a) - (c - b)$
$= -b + a + b + c - a - c + b$
$= b$
8. (2024·四川成都)若$m$，$n$为实数，且$(m + 4)^2 + \sqrt{n - 5} = 0$，则$(m + n)^2=$
$1$
。
答案：8. $1$
解析：
因为$(m + 4)^2 \geq 0$，$\sqrt{n - 5} \geq 0$，且$(m + 4)^2 + \sqrt{n - 5} = 0$，所以$m + 4 = 0$，$n - 5 = 0$，解得$m = -4$，$n = 5$，则$(m + n)^2 = (-4 + 5)^2 = 1^2 = 1$。
9. 若代数式$\sqrt{1 - 2|x|} + \frac{1}{x^2 + 2x}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围为
$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$且$x \neq 0$
。
答案：9. $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$且$x \neq 0$
解析：
要使代数式$\sqrt{1 - 2|x|} + \frac{1}{x^2 + 2x}$在实数范围内有意义，需满足：
1. 二次根式被开方数非负：$1 - 2|x| \geq 0$，即$|x| \leq \frac{1}{2}$，解得$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$；
2. 分式分母不为零：$x^2 + 2x \neq 0$，即$x(x + 2) \neq 0$，解得$x \neq 0$且$x \neq -2$。
综合以上条件，$x$的取值范围为$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$且$x \neq 0$。
$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$且$x \neq 0$
10. 新素养 抽象能力 已知$m$，$x$，$y$是互不相等的实数且满足$\sqrt{m(x - m)} + \sqrt{m(y - m)} = \sqrt{x - m} - \sqrt{m - y}$，求$\frac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + y^2}$的值。
答案：10. 由等式的右边，得$x - m \geq 0,m - y \geq 0$。所以$y - m \leq 0$。由等式的左边，得$m(x - m) \geq 0,m(y - m) \geq 0$，所以$m = 0$。所以原等式可化为$\sqrt{x} - \sqrt{-y} = 0$，即$x = -y$。又$x \neq m$，所以$x \neq 0$。所以$\frac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + y^2} = \frac{3x^2 - x^2 - x^2}{x^2 + x^2 + x^2} = \frac{1}{3}$。
解析：
由等式右边，得$x - m \geq 0$，$m - y \geq 0$，故$y - m \leq 0$。
由等式左边，得$m(x - m) \geq 0$，$m(y - m) \geq 0$。
因为$x - m \geq 0$，$y - m \leq 0$，所以$m(x - m) \geq 0$与$m(y - m) \geq 0$同时成立时，$m = 0$。
原等式化为$\sqrt{x} - \sqrt{-y} = 0$，即$\sqrt{x} = \sqrt{-y}$，所以$x = -y$。
又$x \neq m$，$m = 0$，故$x \neq 0$。
则$\frac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + y^2} = \frac{3x^2 + x(-x) - (-x)^2}{x^2 - x(-x) + (-x)^2} = \frac{3x^2 - x^2 - x^2}{x^2 + x^2 + x^2} = \frac{x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
