12. 计算：
(1) $|x - 1| + \sqrt{(x + 1)^2}(x \leq -1)$；
(2) $\sqrt{(x - \frac{1}{x})^2 + 4} - \sqrt{(x + \frac{1}{x})^2 - 4}(0 ＜ x ＜ 1)$.
答案：12.(1)因为$x\leq - 1$，所以$x - 1＜0$，$x + 1\leq0$.所以原式$=-(x - 1)-(x + 1)=-2x$.
(2)原式$=\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2}-\sqrt{(x-\frac{1}{x})^2}=|x+\frac{1}{x}|-|x-\frac{1}{x}|$.因为$0＜x＜1$，所以$x+\frac{1}{x}＞0$，$x-\frac{1}{x}＜0$.所以原式$=(x+\frac{1}{x})+(x-\frac{1}{x})=2x$.
13. (1) 已知$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，化简：$\sqrt{(a + b + c)^2} + \sqrt{(a - b - c)^2} + \sqrt{(b - a - c)^2} - \sqrt{(c - b - a)^2}$；
(2)已知$|1-\sqrt {(x-1)^2}|=x$，化简：$\sqrt {x^2+\frac 14-x}+\sqrt {x^2+\frac 14+x}$
答案：13.(1)因为$a,b,c$为$\triangle ABC$的三边长，所以$a + b + c＞0$，$a - b - c＜0$，$b - a - c＜0$，$c - b - a＜0$.所以原式$=|a + b + c|+|a - b - c|+|b - a - c|-|c - b - a|=a + b + c - a + b + c - b + a + c + c - b - a=4c$.
(2)由绝对值的意义，得$x\geq0$.当$0\leq x\leq1$时，$|1-\sqrt{(x - 1)^2}|=|1-(1 - x)|=x$恒成立；当$x＞1$时，$|1-\sqrt{(x - 1)^2}|=|1-(x - 1)|=|2 - x|=x$，解得$x = 1$，不符合题意，舍去.则$x$的取值范围为$0\leq x\leq1$.因为$\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}-x+\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}+x=\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2}$，所以原式$=|x-\frac{1}{2}|+|x+\frac{1}{2}|$.当$0\leq x\leq\frac{1}{2}$时，原式$=\frac{1}{2}-x+x+\frac{1}{2}=1$；当$\frac{1}{2}＜x\leq1$时，原式$=x-\frac{1}{2}+x+\frac{1}{2}=2x$.综上，$\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}-x+\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}+x=\begin{cases}1(0\leq x\leq\frac{1}{2}),\\2x(\frac{1}{2}＜x\leq1).\end{cases}$
14. 新素养
推理能力 (2025·江苏连云港期末)已知非零实数$a$，$b$满足$\sqrt{a^2 - 8a + 16} + \sqrt{(a - 5)(b^2 + 1)} + |b - 3| + 4 = a$，则$a^{b - 1}$的值为(
B
)
A.5
B.25
C.125
D.$\frac{1}{5}$
答案：14.B 解析：因为$\sqrt{a^2 - 8a + 16}+\sqrt{(a - 5)(b^2 + 1)}+|b - 3|+4=a$，所以$|a - 4|+\sqrt{(a - 5)(b^2 + 1)}+|b - 3|+4=a$.又$(a - 5)(b^2 + 1)\geq0$，且$b^2 + 1＞0$，所以$a - 5\geq0$，即$a\geq5$.所以$a - 4＞0$.所以$a - 4+\sqrt{(a - 5)(b^2 + 1)}+|b - 3|+4=a$，即$|b - 3|+\sqrt{(a - 5)(b^2 + 1)}=0$.所以$b - 3=0$，$(a - 5)(b^2 + 1)=0$，解得$a = 5$，$b = 3$.所以$a^{b - 1}=25$.
15. (2025·江苏淮安期末)已知$y = \sqrt{(x - 4)^2} - x + 5$，当$x$分别取$1$，$2$，$3$，$···$，$2025$时，所对应$y$值的总和是
2037
.
答案：15.2037 解析：因为$y=\sqrt{(x - 4)^2}-x + 5=|x - 4|-x + 5=\begin{cases}-2x + 9(x＜4),\\1(x\geq4),\end{cases}$所以当$x = 1$时，$y = 7$；当$x = 2$时，$y = 5$；当$x = 3$时，$y = 3$；当$x\geq4$时，$y = 1$.所以当$x$分别取$1,2,3,···,2025$时，所对应$y$值的总和是$7 + 5 + 3 + 1+···+1=7 + 5 + 3 + 1×2022=2037$.
解析：
$y=\sqrt{(x - 4)^2}-x + 5=|x - 4|-x + 5$
当$x＜4$时，$y=-(x - 4)-x + 5=-2x + 9$
当$x\geq4$时，$y=(x - 4)-x + 5=1$
当$x=1$时，$y=-2×1 + 9=7$
当$x=2$时，$y=-2×2 + 9=5$
当$x=3$时，$y=-2×3 + 9=3$
当$x=4,5,···,2025$时，$y=1$，共$2025 - 3=2022$个
总和为$7 + 5 + 3 + 2022×1=15 + 2022=2037$
16. 亮点原创 你见过像$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$，$\sqrt{\sqrt{48} - \sqrt{45}}······$这样的根式吗？这一类根式叫作复合二次根式.有一些复合二次根式可以化简，例如：$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$.
(1) 用上述方法化简$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$；
(2) 已知$a$，$b$，$c$是自然数，且等式$a + \sqrt{2}b + \sqrt{3}c = \sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$成立，求$2024a - 2025b + 2026c$的值.
答案：16.(1)$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}=\sqrt{3^2 - 2×3×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=3-\sqrt{2}$.
(2)同(1)，得$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}$.又$a,b,c$是自然数，$a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c=\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$，所以$a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c=3+\sqrt{2}$，即$a = 3$，$b = 1$，$c = 0$.所以$2024a - 2025b + 2026c=2024×3-2025×1+2026×0=4047$.
