1. 计算$\sqrt{(3 - \pi)^2}$等于(
C
)
A.$3 - \pi$
B.$3 + \pi$
C.$\pi - 3$
D.$\sqrt{\pi - 3}$
答案：1.C
解析：
$\sqrt{(3 - \pi)^2} = |3 - \pi|$，因为$\pi ＞ 3$，所以$3 - \pi ＜ 0$，则$|3 - \pi| = \pi - 3$，答案选C。
2. 若$\sqrt{(x - 5)^2} + x = 5$，则$x$的值不可能是(
A
)
A.6
B.5
C.4
D.3
答案：2.A
解析：
$\sqrt{(x - 5)^2} + x = 5$
$\vert x - 5\vert + x = 5$
当$x\geq5$时，$x - 5 + x = 5$，$2x = 10$，$x = 5$
当$x＜5$时，$5 - x + x = 5$，$5 = 5$，恒成立
综上，$x\leq5$
$x$的值不可能是6
A
3. 已知化简$\sqrt{(3 - a)^2} + \sqrt{(a - 5)^2}$的结果是 2，则实数$a$的取值范围是(
B
)
A.$a \geq 5$
B.$3 \leq a \leq 5$
C.$a \leq 3$
D.$a = 3$或$a = 5$
答案：3.B
解析：
$\sqrt{(3 - a)^2} + \sqrt{(a - 5)^2} = |3 - a| + |a - 5|$
当$a ＜ 3$时，$|3 - a| + |a - 5| = 3 - a + 5 - a = 8 - 2a$，令$8 - 2a = 2$，解得$a = 3$，不满足$a ＜ 3$。
当$3 \leq a \leq 5$时，$|3 - a| + |a - 5| = a - 3 + 5 - a = 2$，符合题意。
当$a ＞ 5$时，$|3 - a| + |a - 5| = a - 3 + a - 5 = 2a - 8$，令$2a - 8 = 2$，解得$a = 5$，不满足$a ＞ 5$。
综上，实数$a$的取值范围是$3 \leq a \leq 5$。
B
4. 新素养
几何直观 若实数$a$，$b$，$c$对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^2} + |a - c| + \sqrt{(b - c)^2} - |b| =$
$-2c$
.
答案：4.$-2c$
解析：
解：由数轴可知$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$，且$|c| ＞ |a| ＞ |b|$。
$\sqrt{a^2} = |a| = -a$，
$|a - c| = a - c$（因为$a ＞ c$），
$\sqrt{(b - c)^2} = |b - c| = b - c$（因为$b ＞ c$），
$|b| = b$。
则原式$= -a + (a - c) + (b - c) - b$
$= -a + a - c + b - c - b$
$= -2c$。
$-2c$
5. 若$m ＜ 0$，则$\frac{|\sqrt{m^2} - m|}{m} =$
$-2$
.
答案：5.$-2$
解析：
解：因为$m ＜ 0$，所以$\sqrt{m^2} = |m| = -m$。
则$\sqrt{m^2} - m = -m - m = -2m$。
$|\sqrt{m^2} - m| = |-2m| = -2m$（因为$m ＜ 0$，所以$-2m ＞ 0$）。
所以$\frac{|\sqrt{m^2} - m|}{m} = \frac{-2m}{m} = -2$。
$-2$
6. (教材 P156 练习 2 变式)计算：
(1) $\sqrt{(\frac{3}{4})^2}$；
(2) $(-\sqrt{\frac{2}{3}})^2 + \sqrt{(-2)^2}$；
(3) $\sqrt{x^2 - 2x + 1}(x ＜ 1)$.
答案：6.(1)原式$=\frac{3}{4}$.
(2)原式$=\frac{2}{3}+|-2|=\frac{8}{3}$.
(3)原式$=\sqrt{(x - 1)^2}=|x - 1|$.因为$x＜1$，所以$x - 1＜0$.所以原式$=1 - x$.
7. (2025·江苏无锡模拟)已知$a = \sqrt{2} - 1$，化简求值：$\frac{a^2 - 1}{a - 1} - \frac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a} - \frac{1}{a}$.
答案：7.原式$=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}-\frac{|a - 1|}{a(a - 1)}-\frac{1}{a}$.因为$a=\sqrt{2}-1$，所以$a + 1=\sqrt{2}$，$a - 1＜0$.所以原式$=a + 1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a}=a + 1=\sqrt{2}$.
8. 已知实数$a$满足$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = \sqrt{a^2}$，则$a - 2025^2$的值为(
D
)
A.0
B.1
C.2025
D.2026
答案：8.D
解析：
要使$\sqrt{a - 2026}$有意义，则$a - 2026 \geq 0$，即$a \geq 2026$。
因为$a \geq 2026$，所以$2025 - a ＜ 0$，则$|2025 - a| = a - 2025$。
原方程$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = \sqrt{a^2}$可化为：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = |a|$
又因为$a \geq 2026$，所以$|a| = a$，方程进一步化为：
$a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$
两边同时减去$a$得：
$-2025 + \sqrt{a - 2026} = 0$
移项可得：
$\sqrt{a - 2026} = 2025$
两边平方得：
$a - 2026 = 2025^2$
所以$a - 2025^2 = 2026$
D
9. (2025·江苏镇江期末)若实数$x$满足$|x - 3| + \sqrt{x^2 + 8x + 16} = 7$，则化简$2|x + 4| - \sqrt{(2x - 6)^2}$的结果是(
A
)
A.$4x + 2$
B.$-4x - 2$
C.$-2$
D.2
答案：9.A
解析：
$|x - 3| + \sqrt{x^2 + 8x + 16} = |x - 3| + |x + 4| = 7$
当$x ＜ -4$时，$3 - x - x - 4 = -2x - 1 = 7$，解得$x = -4$（舍去）
当$-4 \leq x \leq 3$时，$3 - x + x + 4 = 7$，恒成立
当$x ＞ 3$时，$x - 3 + x + 4 = 2x + 1 = 7$，解得$x = 3$（舍去）
综上，$-4 \leq x \leq 3$
$2|x + 4| - \sqrt{(2x - 6)^2} = 2(x + 4) - |2x - 6| = 2x + 8 - (6 - 2x) = 4x + 2$
A
10. 已知点$Q(7 - y, 8 - y)$在第二象限，则化简$\sqrt{y^2 - 12y + 36} + \sqrt{y^2 - 18y + 81} =$
3
.
答案：10.3
解析：
因为点$Q(7 - y, 8 - y)$在第二象限，所以$\begin{cases}7 - y ＜ 0 \\ 8 - y ＞ 0\end{cases}$，解得$7 ＜ y ＜ 8$。
$\sqrt{y^2 - 12y + 36} + \sqrt{y^2 - 18y + 81} = \sqrt{(y - 6)^2} + \sqrt{(y - 9)^2}$
因为$7 ＜ y ＜ 8$，所以$y - 6 ＞ 0$，$y - 9 ＜ 0$，则原式$= y - 6 + 9 - y = 3$。
3
11. 已知化简$\sqrt{m^2 - 4m + 4} + \sqrt{9 - 6m + m^2}$的结果为$2m - 5$，则一次函数$y = (m - 2)x + 3 + m$的图象必经过第
一、二、三
象限.
答案：11.一、二、三
解析：
$\sqrt{m^2 - 4m + 4} + \sqrt{9 - 6m + m^2} = \sqrt{(m - 2)^2} + \sqrt{(m - 3)^2} = |m - 2| + |m - 3|$。
因为结果为$2m - 5$，所以$|m - 2| + |m - 3| = 2m - 5$。
当$m \geq 3$时，$|m - 2| + |m - 3| = (m - 2) + (m - 3) = 2m - 5$，符合条件。
所以$m \geq 3$，则$m - 2 ＞ 0$，$3 + m ＞ 0$。
一次函数$y = (m - 2)x + 3 + m$，因为$k = m - 2 ＞ 0$，$b = 3 + m ＞ 0$，所以图象必经过第一、二、三象限。
一、二、三
