1. 有下列各式：① $\sqrt{16}$；② $\sqrt{3a}$；③ $\sqrt{b^2 - 1}$；④ $\sqrt{a^2 + b^2}$；⑤ $\sqrt{x^2 - 2x + 2}$；⑥ $\sqrt{-16}$.其中一定是二次根式的个数是(
A
)
A.3
B.4
C.5
D.2
答案：1.A
解析：
根据二次根式定义，被开方数非负，逐一分析：
①$\sqrt{16}$：被开方数为$16$（非负），是二次根式。
②$\sqrt{3a}$：被开方数$3a$可能为负（如$a ＜ 0$），不一定是二次根式。
③$\sqrt{b^2 - 1}$：被开方数$b^2 - 1$可能为负（如$b = 0$），不一定是二次根式。
④$\sqrt{a^2 + b^2}$：被开方数$a^2 + b^2 \geq 0$（非负），是二次根式。
⑤$\sqrt{x^2 - 2x + 2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 1} \geq 1 ＞ 0$（非负），是二次根式。
⑥$\sqrt{-16}$：被开方数为负，不是二次根式。
综上，①④⑤一定是二次根式，共$3$个。
$A$
2. (2025·江苏常州模拟)计算$(-\sqrt{5})^2$的结果是(
C
)
A.$\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{5}$
C.5
D.25
答案：2.C
解析：
$(-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$，结果为5，选C。
3. (2025·江苏南通)若代数式$\sqrt{x - 3}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是
$x \geq 3$
.
答案：$3.x \geq 3$
4. 计算：$(\sqrt{\dfrac{3}{5}})^2 =$
$\frac{3}{5}$
；$-(3\sqrt{5})^2 =$
-45
；$(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3})^2 =$
$\frac{8}{3}$
.
答案：$4.\frac{3}{5} -45 \frac{8}{3}$
解析：
$(\sqrt{\dfrac{3}{5}})^2=\dfrac{3}{5}$；$-(3\sqrt{5})^2=-9×5=-45$；$(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3})^2=\dfrac{4×6}{9}=\dfrac{24}{9}=\dfrac{8}{3}$
5. （教材P155练习1变式）求使下列各式有意义的$x$的取值范围.
（1）$\sqrt{x - 7}$；
（2）$\dfrac{\sqrt{3 - 2x}}{x - 2}$；
（3）$\sqrt{5 - x} + \sqrt{2x + 4}$；
（4）$\dfrac{1}{\sqrt{x + 2}} + \sqrt{4 - 3x}$.
答案：5.(1)因为$\sqrt{x - 7}$有意义，所以$x - 7 \geq 0，$解得$x \geq 7.$所以当$x \geq 7$时，$\sqrt{x - 7}$有意义.
(2)因为$\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x - 2}$有意义，所以$\begin{cases}3 - 2x \geq 0, \\ x - 2 \neq 0,\end{cases}$解得$x \leq \frac{3}{2}.$所以当$x \leq \frac{3}{2}$时，$\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x - 2}$有意义.
(3)因为$\sqrt{5 - x} + \sqrt{2x + 4}$有意义，所以$\begin{cases}5 - x \geq 0, \\ 2x + 4 \geq 0,\end{cases}$解得$-2 \leq x \leq 5.$所以当$-2 \leq x \leq 5$时，$\sqrt{5 - x} + \sqrt{2x + 4}$有意义.
(4)因为$\frac{1}{\sqrt{x + 2}} + \sqrt{4 - 3x}$有意义，所以$\begin{cases}x + 2 ＞ 0, \\ 4 - 3x \geq 0,\end{cases}$解得$-2 ＜ x \leq \frac{4}{3}.$所以当$-2 ＜ x \leq \frac{4}{3}$时，$\frac{1}{\sqrt{x + 2}} + \sqrt{4 - 3x}$有意义.
6. (2025·江苏宿迁模拟)若$\sqrt{x - 4} + (6 + y)^2 = 0$，则点$P(x,y)$所在的象限是(
D
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：6.D
解析：
因为$\sqrt{x - 4} \geq 0$，$(6 + y)^2 \geq 0$，且$\sqrt{x - 4} + (6 + y)^2 = 0$，所以$\sqrt{x - 4} = 0$，$(6 + y)^2 = 0$。
由$\sqrt{x - 4} = 0$，得$x - 4 = 0$，解得$x = 4$。
由$(6 + y)^2 = 0$，得$6 + y = 0$，解得$y = -6$。
所以点$P$的坐标为$(4, -6)$，在第四象限。
D
7. (2025·黑龙江齐齐哈尔)若代数式$\dfrac{x}{\sqrt{x - 3}} + (x - 2025)^0$有意义，则$x$的取值范围为
x ＞ 3且$x \neq 2025$
.
答案：7.x ＞ 3且$x \neq 2025$
易错警示
解决这类问题时要考虑全面，除了要考虑二次根式有意义的条件，还要考虑分母不为0及0次幂的底数不为0这两个条件.
8. 已知关于$x$的代数式$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - a - 2}$有意义，且满足条件的所有整数$x$的值之和是10，则$a$的取值范围为
$-3 ＜ a \leq -1$
.
答案：$8.-3 ＜ a \leq -1$
9. 亮点原创 对于代数式$\dfrac{\sqrt{2a - x}}{x - b}$，当$x = -2$时，此代数式的值为0；当$x = -5$时，此代数式无意义.求$\dfrac{a + b}{a - b}$的值.
答案：9.由题意，得当x = -2时，$\sqrt{2a - x} = 0.$所以2a + 2 = 0，解得a = -1.所以$\frac{\sqrt{2a - x}}{x - b} = \frac{\sqrt{-2 - x}}{x - b}.$又当x = -5时，此代数式无意义，且此时$\sqrt{-2 - x} = \sqrt{3}，$所以x - b = 0，即-5 - b = 0，解得b = -5.所以$\frac{a + b}{a - b} = \frac{-1 - 5}{-1 + 5} = -\frac{3}{2}.$
解析：
当$x = -2$时，代数式的值为$0$，则分子$\sqrt{2a - x} = 0$，即$2a - (-2) = 0$，$2a + 2 = 0$，解得$a = -1$。
当$x = -5$时，代数式无意义，此时分母$x - b = 0$，即$-5 - b = 0$，解得$b = -5$。
则$\frac{a + b}{a - b} = \frac{-1 + (-5)}{-1 - (-5)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$。
$-\frac{3}{2}$
10. 新素养 推理能力(2025·江苏徐州模拟)若无论$x$取任何实数，代数式$\sqrt{x^2 - 6x + m}$都有意义，则实数$m$的取值范围是
$m \geq 9$
.
答案：$10.m \geq 9 $解析：因为$x^2 - 6x + m = (x^2 - 6x + 9) + m - 9 = (x - 3)^2 + m - 9，$且$(x - 3)^2 \geq 0，$所以当$m - 9 \geq 0$时，$x^2 - 6x + m \geq 0$恒成立，即当$m \geq$
9时，代数式$\sqrt{x^2 - 6x + m}$恒有意义.
11. 已知$x$，$y$为实数，$y = \dfrac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2} + 1}{x - 2}$，求$3x + 4y$的值.
答案：11.由题意，得$\begin{cases}x^2 - 4 \geq 0, \\ 4 - x^2 \geq 0,\end{cases}$所以$x^2 - 4 = 0，$解得$x = \pm 2.$又$x - 2 \neq 0，$所以$x \neq 2，$即x = -2.将x = -2代入$y = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2} + 1}{x - 2}$中，得$y = -\frac{1}{4}.$所以$3x + 4y = 3 × (-2) + 4 × (-\frac{1}{4}) = -7.$
