2026年亮点给力提优课时作业本八年级数学下册苏科版第95页解析答案

分式与浓度
(2025·江苏盐城期末)下面是小明的数学学习笔记,请仔细阅读,并完成相应任务.
在生活中,有这样司空见惯的现象(以下现象中,糖水均未饱和).
现象1:一杯糖水,向其中加入一点水,糖水变淡;向其中加入一点糖,糖水变甜.
用数学知识解释:设原来糖水的总质量是$a\ \mathrm{g}$,其中含有$b\ \mathrm{g}$糖$(a ＞ b ＞ 0)$,则糖水的浓度为$\frac{b}{a}$.
①如果加入$m\ \mathrm{g}$水,那么糖水的浓度变为

$\frac{b}{a + m}$

.因为糖水变淡,所以可以得到不等式

$\frac{b}{a + m} ＜ \frac{b}{a}$

;
②如果加入$n\ \mathrm{g}$糖,那么糖水的浓度变为

$\frac{b + n}{a + n}$

.因为糖水变甜,所以可以得到不等式

$\frac{b + n}{a + n} ＞ \frac{b}{a}$

;
现象2:两杯浓度不同的糖水混合,糖水甜度在这两杯糖水之间.
用数学知识解释:在两个杯子中分别盛有$a_{1}\ \mathrm{g},a_{2}\ \mathrm{g}$糖水,分别含糖$b_{1}\ \mathrm{g},b_{2}\ \mathrm{g}$,它们浓度不同,分别为$\frac{b_{1}}{a_{1}} = k_{1},\frac{b_{2}}{a_{2}} = k_{2}$,且$k_{1} ＞ k_{2}······$

答案：主题新情境分式与浓度
任务1:①$\frac{b}{a + m} ＜ \frac{b}{a}$
②$\frac{b + n}{a + n} ＞ \frac{b}{a}$
任务2:证明如下：$\frac{b + n}{a + n} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + n) - b(a + n)}{a(a + n)} = \frac{n(a - b)}{a(a + n)}$.因为$a ＞ b ＞ 0$，$n ＞ 0$，所以$a - b ＞ 0$，$a + n ＞ 0$，所以$\frac{n(a - b)}{a(a + n)} ＞ 0$.所以$\frac{b + n}{a + n} - \frac{b}{a} ＞ 0$，即$\frac{b + n}{a + n} ＞ \frac{b}{a}$.
任务3:说明如下：因为$\frac{b_1}{a_1} = k_1$，$\frac{b_2}{a_2} = k_2$，所以$b_1 = a_1k_1$，$b_2 = a_2k_2$.所以$\frac{b_1 + b_2}{a_1 + a_2} = \frac{a_1k_1 + a_2k_2}{a_1 + a_2}$.又$k_1 ＞ k_2 ＞ 0$，$a_1 ＞ 0$，$a_2 ＞ 0$，所以$a_1k_2 + a_2k_2 ＜ a_1k_1 + a_2k_2 ＜ a_1k_1 + a_2k_1$.所以$\frac{a_1k_2 + a_2k_2}{a_1 + a_2} ＜ \frac{a_1k_1 + a_2k_2}{a_1 + a_2} ＜ \frac{a_1k_1 + a_2k_1}{a_1 + a_2}$，即$k_2 ＜ \frac{b_1 + b_2}{a_1 + a_2} ＜ k_1$.所以大杯糖水的浓度在原来各小杯糖水的浓度之间.
任务4:由现象1，得$\frac{a}{a + b + c} ＜ \frac{a}{b + c} ＜ \frac{2a}{a + b + c}$①，$\frac{b}{a + b + c} ＜ \frac{b}{a + c} ＜ \frac{2b}{a + b + c}$②，$\frac{c}{a + b + c} ＜ \frac{c}{a + b} ＜ \frac{2c}{a + b + c}$③，由① + ② + ③，得$\frac{a + b + c}{a + b + c} ＜ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} ＜ \frac{2(a + b + c)}{a + b + c}$，即$1 ＜ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} ＜ 2$.
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参考答案