要使分式有意义，则分母不为零。
A. 分母为$x^2 + 2x + 4$，$x^2 + 2x + 4=(x + 1)^2+3$，因为$(x + 1)^2\geq0$，所以$(x + 1)^2+3\geq3$，分母恒大于零，无论$x$取何值，分式都有意义。
B. 分母为$2x + 1$，当$2x + 1 = 0$，即$x=-\dfrac{1}{2}$时，分母为零，分式无意义。
C. 分母为$x^2$，当$x = 0$时，分母为零，分式无意义。
D. 分母为$2x$，当$x = 0$时，分母为零，分式无意义。
综上，答案选A。

设$\frac{x^2 + 3}{x + 3} = k$（$k$为正整数），则$x^2 - kx + (3 - 3k) = 0$。
通过多项式除法或配方法变形：$\frac{x^2 + 3}{x + 3} = x - 3 + \frac{12}{x + 3}$。
因为分式的值为正整数，所以$x + 3$是$12$的正因数，且$x$为非负整数。
$12$的正因数有$1, 2, 3, 4, 6, 12$，则：
$x + 3 = 1$，$x = -2$（舍去，非负整数）；
$x + 3 = 2$，$x = -1$（舍去）；
$x + 3 = 3$，$x = 0$，此时$\frac{0 + 3}{0 + 3} = 1$（正整数）；
$x + 3 = 4$，$x = 1$，$\frac{1 + 3}{1 + 3} = 1$（正整数）；
$x + 3 = 6$，$x = 3$，$\frac{9 + 3}{3 + 3} = 2$（正整数）；
$x + 3 = 12$，$x = 9$，$\frac{81 + 3}{9 + 3} = 7$（正整数）。
综上，$x$可取$0, 1, 3, 9$，共$4$个值。
4

首先，我们考虑分式$\dfrac{|x - 5|}{x^{2}-10x + 25}$。
$x^{2}-10x + 25$可以分解为$(x - 5)^{2}$。
因此，原式可以写为：
$\dfrac{|x - 5|}{(x - 5)^{2}}$
要使这个分式等于$\dfrac{1}{5 - x}$，
我们需要考虑绝对值$|x - 5|$的取值。
当$x ＜ 5$时，$|x - 5| = 5 - x$，
所以：
$\dfrac{5 - x}{(x - 5)^{2}} = \dfrac{1}{5 - x}$
因为$(x - 5)^{2} = (5 - x)^{2}$，
两边约去$5 - x$（注意，这里$x \neq 5$，否则分母为0，分式无意义），得到：
$\dfrac{1}{5 - x} = \dfrac{1}{5 - x}$
这是一个恒等式，在$x ＜ 5$的条件下成立。
当$x = 5$时，分母为0，分式无意义。
当$x ＞ 5$时，$|x - 5| = x - 5$，此时：
$\dfrac{x - 5}{(x - 5)^{2}} = \dfrac{1}{x - 5}$
这与题目给定的$\dfrac{1}{5 - x}$不等，除非$x$无解。
因此，唯一使分式自左向右变形成立的条件是$x ＜ 5$。
故答案为：B. $x ＜ 5$。

由题意，得$A = x - 1$，$B = 3x^{2} - 3$，且$\frac{B}{A} = 3$，$x \neq \pm 1$，所以$\frac{3x^{2} - 3}{x - 1} = 3$，即$\frac{3(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 3$，化简得$3(x + 1) = 3$，解得$x = 0$。经检验，$x = 0$是原方程的解，且$x - 1 \neq 1$。则$\frac{1}{3x^{2} - 3} = \frac{1}{3×0^{2} - 3} = -\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x - 1} = \frac{2}{0 - 1} = -2$。

设$ A $为整式，已知$\dfrac{A}{xy + y^{2}}-\dfrac{y}{x^{2}+xy} = \dfrac{x - y}{xy}$。
先对分母因式分解：$xy + y^{2}=y(x + y)$，$x^{2}+xy=x(x + y)$。
等式左边通分，最简公分母为$xy(x + y)$，则：
$\begin{aligned}\dfrac{A}{y(x + y)}-\dfrac{y}{x(x + y)}&=\dfrac{Ax}{xy(x + y)}-\dfrac{y^{2}}{xy(x + y)}\\&=\dfrac{Ax - y^{2}}{xy(x + y)}\end{aligned}$
等式右边$\dfrac{x - y}{xy}=\dfrac{(x - y)(x + y)}{xy(x + y)}=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{xy(x + y)}$。
所以$\dfrac{Ax - y^{2}}{xy(x + y)}=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{xy(x + y)}$，分子相等可得：$Ax - y^{2}=x^{2}-y^{2}$，即$Ax=x^{2}$，解得$A = x$。
A

移项得：$\dfrac{2x}{x - 1}·|x| - \dfrac{2x}{x - 1} = 0$，
提取公因式得：$\dfrac{2x}{x - 1}(|x| - 1) = 0$，
则$\dfrac{2x}{x - 1} = 0$或$|x| - 1 = 0$，
当$\dfrac{2x}{x - 1} = 0$时，$2x = 0$且$x - 1 \neq 0$，解得$x = 0$；
当$|x| - 1 = 0$时，$|x| = 1$，解得$x = 1$或$x = -1$，
经检验，$x = 1$时，分母$x - 1 = 0$，原方程无意义，舍去，
所以$x = 0$或$x = -1$。
B

设被墨汁遮住部分的代数式为$x$，则原式可写为$(\dfrac{1}{a + b}+\dfrac{1}{a - b})÷x=\dfrac{2}{a + b}$。
先计算括号内的式子：$\dfrac{1}{a + b}+\dfrac{1}{a - b}=\dfrac{(a - b)+(a + b)}{(a + b)(a - b)}=\dfrac{2a}{a^{2}-b^{2}}$。
由$\dfrac{2a}{a^{2}-b^{2}}÷x=\dfrac{2}{a + b}$，可得$x=\dfrac{2a}{a^{2}-b^{2}}÷\dfrac{2}{a + b}=\dfrac{2a}{(a + b)(a - b)}×\dfrac{a + b}{2}=\dfrac{a}{a - b}$。
A

解：原式$=2a(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})+b(\dfrac{2}{c}+\dfrac{2}{a})+2c(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
$=\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2a}{c}+\dfrac{2b}{c}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2c}{a}+\dfrac{2c}{b}$
$=2(\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b})$
$=2[(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})+(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a})]$
$=2[\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}]$
因为$a + b + c = 0$，所以$a + c=-b$，$a + b=-c$，$b + c=-a$。
则原式$=2[\dfrac{-b}{b}+\dfrac{-c}{c}+\dfrac{-a}{a}]=2(-1 - 1 - 1)=2×(-3)=-6$
$-6$

解：$\dfrac{M}{x + 2}+\dfrac{1}{x - 1}=\dfrac{M(x - 1) + (x + 2)}{(x + 2)(x - 1)}=\dfrac{(M + 1)x + (-M + 2)}{(x + 2)(x - 1)}$
因为$\dfrac{4x - 1}{(x + 2)(x - 1)}=\dfrac{(M + 1)x + (-M + 2)}{(x + 2)(x - 1)}$，所以$\begin{cases}M + 1 = 4 \\ -M + 2 = -1\end{cases}$
解得$M = 3$
3

$a_{1}=x+1$
$a_{2}=\dfrac{1}{1 - a_{1}}=\dfrac{1}{1-(x + 1)}=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}$
$a_{3}=\dfrac{1}{1 - a_{2}}=\dfrac{1}{1 - (-\dfrac{1}{x})}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{x}{x + 1}$
$a_{4}=\dfrac{1}{1 - a_{3}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{x + 1}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x + 1}}=x + 1=a_{1}$
由此可得，数列以$a_{1},a_{2},a_{3}$为周期循环，周期为3。
因为$2024÷3=674······2$，所以$a_{2024}=a_{2}=-\dfrac{1}{x}$
$-\dfrac{1}{x}$