8. 某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产
15
个零件.
答案：8. 15
解析：
设一个工人每小时生产$x$个零件，则机器每小时生产$12x$个零件。
根据题意，得$\dfrac{60}{8x}-\dfrac{60}{12x}=2$
方程两边同乘$24x$，得$180 - 120 = 48x$
解得$x = \dfrac{60}{48} = \dfrac{5}{4}$
经检验，$x = \dfrac{5}{4}$是原方程的解，且符合题意。
机器每小时生产零件数：$12x = 12×\dfrac{5}{4}=15$
15
9. 某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时停止生产，进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了$\frac{1}{3}，$结果比原计划提前40分钟完成任务，则软件升级后每小时生产
80
个零件.
答案：9. 80
易错警示
解答这类问题时,找准等量关系是关键,合理利用等量关系列出方程,最后没有对方程的解进行检验是易错点.
10. 新趋势 情境素材 2024年12月31日，国家卫生健康委员会面向公众发布的《体重管理指导原则（2024年版）》指出，有研究预测，如果得不到有效遏制，2030年我国儿童超重肥胖率将达到31.8%.某校为了增强学生的身体素质，降低肥胖率，计划购买一批足球和篮球供同学们锻炼使用.经市场调查发现：1个足球的价格比1个篮球贵5元，用640元购买足球和用600元购买篮球的数量相同.
（1）一个足球和一个篮球的价格分别是多少元？
（2）某商店推出了打折优惠活动：足球以九折出售，篮球以八折出售.学校计划在该商店购买足球和篮球共100个，总费用不超过6820元，且要求足球的数量不少于篮球数量的2倍，请你帮助学校选择总费用最少的购买方案.
答案：10. (1)设一个篮球的价格是$x$元,则一个足球的价格是$(x+5)$元.由题意,得$\frac {640}{x+5}=\frac {600}{x}$,解得$x=75$.经检验,$x=75$是原方程的解,且符合题意.则$x+5=75+5=80$.所以一个足球的价格是80元,一个篮球的价格是75元.
(2)由(1),得一个足球和一个篮球的价格分别是80元,75元.设购买足球$a$个,则购买篮球$(100-a)$个.由题意,得$\begin{cases}80×0.9a+75×0.8(100-a)\leq6820,\\a\geq2(100-a),\end{cases}$解得$66\frac {2}{3}\leq a\leq68\frac {1}{3}$.又$a$是正整数,所以$a=67$或68.当$a=67$时,$80×0.9×67+75×0.8×(100-67)=6804$;当$a=68$时,$80×0.9×68+75×0.8×(100-68)=6816$.又$6804＜6816$,所以当购买足球67个,篮球33个时总费用最少.
11. 亮点原创 甲、乙两牧民一共带100只羊去集市售卖，两人所带羊只数不等，但卖的钱数相同.牧民甲说：“若我有你那么多羊，则可以卖15两金子.”牧民乙说：“若我有你那么多羊，则可以卖$\frac{20}{3}$两金子.”则牧民甲每只羊的价格是(
B
)
A.$\frac{1}{3}$两金子
B.$ \frac{1}{4}$两金子
C.$\frac{1}{5}$两金子
D.$\frac{1}{6}$两金子
答案：11. B 解析:设牧民甲每只羊的价格是$x$两金子,牧民乙有羊$y$只,则牧民甲有羊$(100-y)$只.由题意,得$xy=15$,牧民乙每只羊的价格是$\frac {20}{3(100-y)}$两金子,则$y=\frac {15}{x}$.又牧民甲、乙两人卖羊获得的钱数相同,所以$(100-y)x=\frac {20y}{3(100-y)}$,即$(100x-15)^2=100$.所以$|100x-15|=10$,解得$x=\frac {1}{4}$或$\frac {1}{20}$.当$x=\frac {1}{20}$时,$y=300＞100$,不符合题意,舍去;当$x=\frac {1}{4}$时,$100-\frac {15}{x}\neq0$,$y=60＜100$,符合题意.所以$x=\frac {1}{4}$,即牧民甲每只羊的价格是$\frac {1}{4}$两金子.
12. 父子两人沿某环形跑道匀速骑自行车.同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍，则父亲的速度是儿子速度的
1.2
倍.
答案：12. 1.2 解析:设父亲的速度是儿子速度的$x$倍,儿子的速度为$v$.由题意,得$\frac {1}{(x-1)v}=11·\frac {1}{(x+1)v}$,解得$x=1.2$.经检验,$x=1.2$是原方程的解,且符合题意.则父亲的速度是儿子速度的1.2倍.
解析：
设父亲的速度是儿子速度的$x$倍，儿子的速度为$v$，环形跑道的长度为$s$。
同向行驶时，父子两人的相对速度为$(x - 1)v$，则相遇一次所用时间为$\frac{s}{(x - 1)v}$。
反向行驶时，父子两人的相对速度为$(x + 1)v$，则相遇一次所用时间为$\frac{s}{(x + 1)v}$。
由题意，反向行驶时相遇频率是同向行驶时的$11$倍，即反向行驶相遇一次所用时间是同向行驶的$\frac{1}{11}$，可得：
$\frac{s}{(x - 1)v} = 11 · \frac{s}{(x + 1)v}$
两边同时约去$s$和$v$，得：
$\frac{1}{x - 1} = \frac{11}{x + 1}$
交叉相乘，得：
$x + 1 = 11(x - 1)$
$x + 1 = 11x - 11$
$1 + 11 = 11x - x$
$12 = 10x$
$x = \frac{12}{10} = 1.2$
经检验，$x = 1.2$是原方程的解，且符合题意。
1.2
13. 某蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管.甲、乙两管齐开，1小时注满全池的$\frac{1}{2}；$乙、丙两管齐开，1小时注满全池的$\frac{2}{3}；$甲、丙两管齐开，1小时12分钟注满全池.三管齐开，多少分钟可以注满全池的$\frac{1}{3}？$
答案：13. 设分别打开甲、乙、丙三个进水管,注满该蓄水池所用的时间分别为$a$小时,$b$小时,$c$小时,且1小时12分钟$=1.2$小时.由题意,得$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=\frac {1}{2}$①,$\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=\frac {2}{3}$②,由③,得$\frac {1}{a}+\frac {1}{c}=\frac {5}{6}$④.则由$\frac {1.2}{a}+\frac {1.2}{c}=1$③.
①+②+④,得$2(\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c})=2$,即$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=1$.所以$\frac {1}{3}(\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c})=\frac {1}{3}$.所以三管齐开,需要$\frac {1}{3}×60=20$(分钟)可以注满全池的$\frac {1}{3}$.
