14. 新素养 应用意识 比较两个代数式的大小一般采用“作差法”，即要比较代数式 $ M $，$ N $ 的大小，只要作出 $ M - N $ 的差.若 $ M - N\gt0 $，则 $ M\gt N $；若 $ M - N = 0 $，则 $ M = N $；若 $ M - N\lt0 $，则 $ M\lt N $.
(1)若 $ n\gt0 $，则 $ \dfrac{n + 1}{n}-\dfrac{n + 2}{n + 1} $
$＞$
$ 0 $(填“$ \gt $”“$ \lt $”或“$ = $”)；
(2)已知 $ A=\dfrac{m^{2}+6m + 9}{m^{2}-9} $，$ B=\dfrac{2m + 1}{2m + 6} $，$ m\gt - 3 $ 且 $ m\neq3 $，试比较 $ \dfrac{1}{A} $ 与 $ B $ 的大小，并说明理由；
(3)嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了 $ m $ 千克该商品，琪琪两次购买该商品均花费 $ n $ 元，已知第一次购买该商品的价格为 $ a $ 元/千克，第二次购买该商品的价格为 $ b $ 元/千克($ a $，$ b $ 都是正整数，且 $ a\neq b $).请用作差法比较，说出谁两次所购买商品的平均价格低.
答案：14. (1) $＞$ 解析：$\frac{n + 1}{n} - \frac{n + 2}{n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 - n^{2} - 2n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}$. 又$n ＞ 0$,所以$\frac{1}{n(n + 1)} ＞ 0$,即$\frac{n + 1}{n} - \frac{n + 2}{n + 1} ＞ 0$.
(2)$\frac{1}{A} ＜ B$. 理由如下：因为$A = \frac{m^{2} + 6m + 9}{m^{2} - 9}$,$B = \frac{2m + 1}{2m + 6}$,所以$\frac{1}{A} - B = \frac{m^{2} - 9}{m^{2} + 6m + 9} - \frac{2m + 1}{2(m + 3)} = \frac{m - 3}{m + 3} - \frac{2m + 1}{2(m + 3)} = \frac{- 7}{2(m + 3)}$.又$m ＞ - 3$,所以$2(m + 3) ＞ 0$,即$\frac{- 7}{2(m + 3)} ＜ 0$. 所以$\frac{1}{A} - B ＜ 0$,即$\frac{1}{A} ＜ B$.
(3)由题意，得嘉嘉两次所购买商品的平均价格为$\frac{ma + mb}{2m} = \frac{a + b}{2}$(元/千克)，琪琪两次所购买商品的平均价格为$\frac{2n}{\frac{n}{a} + \frac{n}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$(元/千克).又$\frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}$,且$a \neq b$,$a$,$b$ 都是正整数，所以$\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)} ＞ 0$,即$\frac{a + b}{2} - \frac{2ab}{a + b} ＞ 0$. 所以$\frac{a + b}{2} ＞ \frac{2ab}{a + b}$. 所以琪琪两次所购买商品的平均价格低.
15. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{ax}{x - 1}=\dfrac{3a + 2}{x - 1}+1 $ 无解，则 $ a $ 的值为(
D
)
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 1 $ 或 $ 2 $
D.$ \pm1 $
答案：15. D
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$得：$ax = 3a + 2 + x - 1$，整理得$(a - 1)x = 3a + 1$。
情况一：当$a - 1 = 0$，即$a = 1$时，方程左边为$0$，右边为$3×1 + 1 = 4$，$0 ≠ 4$，方程无解。
情况二：当$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$时，$x = \dfrac{3a + 1}{a - 1}$。若原方程无解，则$x - 1 = 0$，即$x = 1$。所以$\dfrac{3a + 1}{a - 1} = 1$，解得$3a + 1 = a - 1$，$2a = -2$，$a = -1$。
综上，$a$的值为$\pm1$。
D
16. 某校组织七年级和八年级的学生到距离学校 $ 3\mathrm{km} $ 的党史纪念馆参观学习，七年级学生步行从学校出发，$ 10\mathrm{min} $ 后，八年级学生也步行从学校出发，八年级学生的步行速度是七年级学生的 $ 1.2 $ 倍，两个年级学生恰好同时到达该纪念馆.设七年级学生步行的速度为 $ x\mathrm{m/min} $，则可列方程为
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.2x} = 10$
.
答案：16. $\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.2x} = 10$
17. 亮点原创 若关于 $ x $ 的一元一次不等式组 $ \begin{cases}\dfrac{x - 3}{2}\leqslant - 4,\\2x - a\geqslant2\end{cases}$ 最多有 $ 2 $ 个整数解，且关于 $ y $ 的分式方程 $ \dfrac{1 - a}{y - 2}+\dfrac{4}{2 - y}=2 $ 有非负整数解，则满足条件的整数 $ a $ 的值有 ______ 个.
答案：17. 8
解析：
解不等式组：
解$\frac{x - 3}{2}\leqslant - 4$，得$x\leqslant - 5$；
解$2x - a\geqslant2$，得$x\geqslant\frac{a + 2}{2}$。
不等式组解集为$\frac{a + 2}{2}\leqslant x\leqslant - 5$，最多有2个整数解，即$-6$，$-5$，所以$-7＜\frac{a + 2}{2}\leqslant - 6$，解得$-16 ＜ a\leqslant - 14$。
解分式方程$\frac{1 - a}{y - 2}+\frac{4}{2 - y}=2$，方程两边同乘$y - 2$得$1 - a - 4 = 2(y - 2)$，解得$y=\frac{1 - a}{2}$。
分式方程有非负整数解，$y\geqslant0$且$y\neq2$，即$\frac{1 - a}{2}\geqslant0$且$\frac{1 - a}{2}\neq2$，解得$a\leqslant1$且$a\neq - 3$。
综上，$-16 ＜ a\leqslant - 14$且$a$为整数，$a=-15,-14$。
$y=\frac{1 - a}{2}$为非负整数，当$a=-15$时，$y=8$；当$a=-14$时，$y=\frac{15}{2}$（舍去），所以$a=-15$。
满足条件的整数$a$的值有1个。
1
18. （2024·四川雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为 $ 3000 $ 米的污水排放管道.为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加 $ 25\% $，结果提前 $ 15 $ 天完成铺设任务.
（1）原计划与实际每天铺设管道分别为多少米？
（2）负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为 $ 300 $ 元，所有工人的工资总金额不超过 $ 18 $ 万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
答案：18. (1)设原计划每天铺设管道$x$米，则实际每天铺设管道$(1 + 25\%)x$米. 由题意，得$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{(1 + 25\%)x} = 15$,解得$x = 40$. 经检验，$x = 40$是原方程的解，且符合题意. 则$(1 + 25\%)x = 50$. 所以原计划与实际每天铺设管道分别为$40$米，$50$米.
(2)设该公司原计划安排$y$名工人施工. 由(1),得
原计划每天铺设管道$40$米，则原计划铺设管道的天数为$\frac{3000}{40} = 75$. 由题意，得$75 × 300y \leqslant 180000$,解得$y \leqslant 8$. 则该公司原计划最多应安排$8$名工人施工.
