8. 对于两个不相等的实数$a$，$b$，我们规定符号$\min\{a, b\}$表示$a$，$b$中的较小值，如：$\min\{2, 4\} = 2$. 按照这个规定，方程$\min\{\frac{5}{x}, \frac{2}{x}\} = \frac{6}{x} - 2$的解为 (
B
)
A.$x = \frac{1}{2}$
B.$x = 2$
C.$x = \frac{1}{2}$或$x = 2$
D.$x = 1$或$x = -2$
答案：8.B
易错警示
注意分类讨论时，要考虑$x$的取值范围.
9. (2025·江苏常州期末)一容器内盛有150g的盐水，其中含盐10g. 通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的3倍. 小丽根据这一情景中的数量关系列出方程为$3 × \frac{10}{150} = \frac{10}{150 - x}$，则未知数$x$表示的是 (
B
)
A.加入的水量
B.减少的水量
C.加入的盐量
D.减少的盐量
答案：9.B
10. 若分式$\frac{x - 8}{x - 7}$与分式$\frac{1}{7 - x}$互为相反数，则$x$的值为
9
.
答案：10.9
解析：
由题意得：$\frac{x - 8}{x - 7} + \frac{1}{7 - x} = 0$
$\frac{x - 8}{x - 7} - \frac{1}{x - 7} = 0$
$\frac{x - 8 - 1}{x - 7} = 0$
$\frac{x - 9}{x - 7} = 0$
则$x - 9 = 0$且$x - 7 \neq 0$
解得$x = 9$
经检验，$x = 9$是原方程的解。
9
11. 已知点$P(1 - 2a, a - 2)$关于原点的对称点在第一象限内，且$a$为整数，则关于$x$的分式方程$\frac{x + 1}{x - a} = 2$的解是
$x = 3$
.
答案：11.$x = 3$
解析：
点$P(1 - 2a, a - 2)$关于原点的对称点为$(2a - 1, 2 - a)$。
因为对称点在第一象限内，所以$\begin{cases}2a - 1 ＞ 0 \\ 2 - a ＞ 0\end{cases}$，解得$\frac{1}{2} ＜ a ＜ 2$。
又因为$a$为整数，所以$a = 1$。
将$a = 1$代入分式方程$\frac{x + 1}{x - a} = 2$，得$\frac{x + 1}{x - 1} = 2$。
方程两边同乘$x - 1$，得$x + 1 = 2(x - 1)$，解得$x = 3$。
经检验，$x = 3$是原分式方程的解。
$x = 3$
12. 定义：形如$x + \frac{mn}{x} = m + n$($m$，$n$不为零)，且两个解分别为$x_1 = m$，$x_2 = n$的方程称为“十字分式方程”. 例如：$x + \frac{6}{x} = 5$为“十字分式方程”，可化为$x + \frac{2 × 3}{x} = 2 + 3$，则$x_1 = 2$，$x_2 = 3$. 如果关于$x$的“十字分式方程”$x - \frac{1 - k^2}{x} = 2k$的两个解分别为$x_1$，$x_2$(其中$k ＞ 1$，且$x_1 ＜ x_2$)，那么$\frac{x_2 - 1}{2x_1 + 2} =$
$\frac{1}{2}$
.
答案：12.$\frac{1}{2}$
解析：
将方程$x - \frac{1 - k^2}{x} = 2k$变形为$x + \frac{(k^2 - 1)}{x} = 2k$。
因为$k^2 - 1 = (k + 1)(k - 1)$，且$2k = (k + 1) + (k - 1)$，所以该方程符合“十字分式方程”的定义，其两个解为$x_1 = k - 1$，$x_2 = k + 1$（由于$k＞1$，则$k - 1＜k + 1$，即$x_1＜x_2$）。
则$\frac{x_2 - 1}{2x_1 + 2} = \frac{(k + 1) - 1}{2(k - 1) + 2} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
13. 已知关于$x$的方程$\frac{m}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} = \frac{m + 4}{x^2 - 9}$.
（1）若$m = 4$，解这个分式方程；
（2）若原分式方程的解为整数，求整数$m$的值.
答案：13.(1)把$m = 4$代入方程$\frac{m}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} = \frac{m + 4}{x^2 - 9}$中，得
$\frac{4}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} = \frac{8}{x^2 - 9}$.去分母，得$4(x - 3) + x + 3 = 8$，解得$x = \frac{17}{5}$.经检验，$x = \frac{17}{5}$是原方程的解.
(2)对于方程$\frac{m}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} = \frac{m + 4}{x^2 - 9}$，去分母，得$m(x - 3) + x + 3 = m + 4$，解得$x = \frac{4m + 1}{m + 1}$.又$\frac{4m + 1}{m + 1} - \frac{4(m + 1) - 3}{m + 1} = 4 - \frac{3}{m + 1}$，且原分式方程的解为整数，所以$m + 1 = \pm1$或$m + 1 = \pm3$，且$\frac{4m + 1}{m + 1} \neq \pm3$.所以$m = -2$或$m = 0$或$m = -4$或$m = 2$且$m \neq 2$，$m \neq -\frac{4}{7}$.所以整数$m$的值为$-4$或$0$或$-2$.
14. 若实数$x$满足$\frac{9}{x - 12} - \frac{12}{9 - x} = \frac{10}{x - 11} - \frac{11}{10 - x}$这个等式，则$x$的值为
$21$或$\frac{21}{2}$
.
答案：14.$21$或$\frac{21}{2}$ 解析：因为$\frac{9}{x - 12} - \frac{12}{9 - x} = \frac{10}{x - 11}$
$\frac{11}{10 - x}$，所以$\frac{9}{x - 12} - \frac{11}{10 - x} = \frac{10}{x - 11} - \frac{12}{9 - x}$，即$\frac{9x - 90 - 11x + 132}{x^2 - 22x + 120} = \frac{10x - 90 - 12x + 132}{x^2 - 20x + 99}$.
所以$\frac{-2x + 42}{x^2 - 22x + 120} = \frac{-2x + 42}{x^2 - 20x + 99}$.当$-2x + 42 = 0$时，$x = 21$；当$-2x + 42 \neq 0$时，$x^2 - 22x + 120 = x^2 - 20x + 99$，解得$x = \frac{21}{2}$.经检验，$x = 21$或$x = \frac{21}{2}$都是原方程的解.则$x$的值为$21$或$\frac{21}{2}$.
易错警示
解决这类问题的关键是根据等式的性质对方程进行合理地转化，当等式两边同除以一个代数式时，该代数式不能为$0$，没有对此进行讨论是造成错误的原因.
15. 若实数$a$，$b$满足$ab \neq 0$，且使得$\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} = \frac{a + b}{1 + a + b}$，则$a + b$的值为
$-2$
.
答案：15.$-2$ 解析：原等式两边同乘$(1 + a + b)$，得$a + \frac{ab}{1 + a} + b + \frac{ab}{1 + b} = a + b$，则$\frac{ab}{1 + a} + \frac{ab}{1 + b} = 0$.因为$ab \neq 0$，所以$\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = 0$，即$1 + a + 1 + b = 0$.则$a + b$的值为$-2$.
16. 先阅读下面一段文字，然后解答问题.
已知：方程$x - \frac{1}{x} = 1\frac{1}{2}$的解是$x = 2$或$x = -\frac{1}{2}$；方程$x - \frac{1}{x} = 2\frac{2}{3}$的解是$x = 3$或$x = -\frac{1}{3}$；方程$x - \frac{1}{x} = 3\frac{3}{4}$的解是$x = 4$或$x = -\frac{1}{4}$；方程$x - \frac{1}{x} = 4\frac{4}{5}$的解是$x = 5$或$x = -\frac{1}{5}$. 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程$x - \frac{1}{x} = 10\frac{10}{11}$的解，并检验.
答案：16.猜想：方程$x - \frac{1}{x} = 10\frac{10}{11}$的解是$x = 11$或$x = -\frac{1}{11}$.检验：把$x = 11$代入原方程，得左边$= 11 - \frac{1}{11} = 10\frac{10}{11}$，则左边 = 右边；把$x = -\frac{1}{11}$代入原方程，得左边$= -\frac{1}{11} + 11 = 10\frac{10}{11}$，则左边 = 右边.所以$x = 11$或$x = -\frac{1}{11}$是原方程的解.
解析：
猜想：方程$x - \frac{1}{x} = 10\frac{10}{11}$的解是$x = 11$或$x = -\frac{1}{11}$。
检验：把$x = 11$代入原方程，左边$= 11 - \frac{1}{11} = \frac{121 - 1}{11} = \frac{120}{11} = 10\frac{10}{11}$，右边$= 10\frac{10}{11}$，左边 = 右边；
把$x = -\frac{1}{11}$代入原方程，左边$= -\frac{1}{11} - \frac{1}{-\frac{1}{11}} = -\frac{1}{11} + 11 = \frac{-1 + 121}{11} = \frac{120}{11} = 10\frac{10}{11}$，右边$= 10\frac{10}{11}$，左边 = 右边。
所以$x = 11$或$x = -\frac{1}{11}$是原方程的解。
