1. (2025·江苏镇江期末)解分式方程$\frac{1}{x - 1} + 2 = \frac{3x}{1 - x}$时，去分母变形正确的是 (
B
)
A.$1 + 2 = 3x(1 - x)$
B.$1 + 2(x - 1) = -3x$
C.$x - 1 + 2 = -3x$
D.$1 + 2(x - 1) = 3x$
答案：1.B
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$，得$1 + 2(x - 1) = -3x$，故选B。
2. (教材P141问题变式)(2025·江苏镇江期末)暑假期间八(1)班的学生在社区开展志愿服务，他们分成5个小组，共需制作360面彩旗. 已知每组人数相同，人均工作量相同，现在因1个小组另有任务，其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务. 如果设每个小组有学生$x$名，那么可以列方程为 (
C
)
A.$\frac{360}{5x} - \frac{360}{x} = 2$
B.$\frac{360}{5x} + \frac{360}{4x} = 2$
C.$\frac{360}{4x} - \frac{360}{5x} = 2$
D.$\frac{360}{5x} - \frac{360}{4x} = 2$
答案：2.C
解析：
设每个小组有学生$x$名。
原计划5个小组，总人数为$5x$名，人均工作量为$\frac{360}{5x}$面。
实际4个小组，总人数为$4x$名，人均工作量为$\frac{360}{4x}$面。
因为实际人均比原计划多做2面，所以$\frac{360}{4x} - \frac{360}{5x} = 2$。
C
3. 分式方程$\frac{3}{x} = \frac{2}{x - 3}$的解为
$x = 9$
.
答案：3.$x = 9$
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 3)$，得$3(x - 3) = 2x$，
去括号，得$3x - 9 = 2x$，
移项，得$3x - 2x = 9$，
合并同类项，得$x = 9$，
检验：当$x = 9$时，$x(x - 3)=9×(9 - 3)=54\neq0$，
所以$x = 9$是原分式方程的解。
$x = 9$
4. 已知关于$x$的方程$\frac{4ax + 5}{2a - 3x} - \frac{4}{3x - 2a} = 1$的解为$x = 1$，则$a =$
$-6$
.
答案：4.$-6$
解析：
解：将$x = 1$代入方程$\frac{4ax + 5}{2a - 3x} - \frac{4}{3x - 2a} = 1$，
因为$3x - 2a = -(2a - 3x)$，所以原方程可化为$\frac{4ax + 5}{2a - 3x} + \frac{4}{2a - 3x} = 1$，
即$\frac{4a×1 + 5 + 4}{2a - 3×1} = 1$，
$\frac{4a + 9}{2a - 3} = 1$，
$4a + 9 = 2a - 3$，
$4a - 2a = -3 - 9$，
$2a = -12$，
$a = -6$。
经检验，当$a = -6$时，$2a - 3x = 2×(-6) - 3×1 = -15 ≠ 0$，
所以$a = -6$。
$-6$
5. 对于任意不为零的实数$a$，$b$，定义$a \otimes b = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$，例如：$2 \otimes 3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，则方程$x \otimes (2 - x) = \frac{6}{x^2 - 2x}$的解是
$x = 4$
.
答案：5.$x = 4$
解析：
解：由定义得，$x \otimes (2 - x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2 - x}$。
方程可化为：$\frac{1}{x} - \frac{1}{2 - x} = \frac{6}{x^2 - 2x}$
整理得：$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{6}{x(x - 2)}$
两边同乘$x(x - 2)$得：$x - 2 + x = 6$
解得：$x = 4$
经检验，$x = 4$是原方程的解。
$x = 4$
6. 解方程：
（1）（2025·浙江）$\frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$；
（2）（2025·江苏盐城期末）$\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{x}{x - 2} = 1$；
（3）$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^2 - 4x + 4}$.
答案：6.(1)方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得$3(x - 1) - (x + 1) = 0$，解得$x = 2$.经检验，$x = 2$是原方程的解.
(2)方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$2 + x(x + 2) = (x + 2)(x - 2)$.化简，得$2x = -6$，解得$x = -3$.经检验，$x = -3$是原方程的解.
(3)方程两边同乘$(x - 2)^2$，得$x(x - 2) - (x - 2)^2 = 4$.化简，得$2x = 8$，解得$x = 4$.经检验，$x = 4$是原方程的解.
7. (2025·江苏常州期末)解方程：$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{-x - 1}{2x - 4} - 2$.
下面是小丽同学解这个方程的部分过程：
解：$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{-x - 1}{2(x - 2)} - 2$ 第一步
……
(1)小丽第二步在方程的两边同乘$2(x - 2)$，这样做的依据是
①
(填序号)；
① 等式的基本性质；② 分式的基本性质；③ 因式分解.
(2)请将解方程的过程补充完整.
答案：7.(1)①
(2)方程两边同乘$2(x - 2)$，得$2(5x - 4) = -x - 1 - 2·2(x - 2)$.化简，得$15x = 15$，解得$x = 1$.经检验，$x = 1$是原方程的解.
