1. 分式方程$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$的解为(
C
)
A.$x = 1$
B.$x = - 1$
C.无解
D.$x = - 2$
答案：1.C
解析：
方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3$。
展开得$x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3$，即$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3$。
合并同类项得$x + 2 = 3$，解得$x = 1$。
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
C
2. (2025·四川遂宁)若关于$x$的分式方程$\frac{3 - ax}{2 - x} = \frac{a}{x - 2} - 1$无解，则$a$的值为(
D
)
A.2
B.3
C.0或2
D.$- 1$或3
答案：2.D
解析：
方程两边同乘$(x - 2)$，得$ax - 3 = a - (x - 2)$，整理得$(a + 1)x = a + 5$。
情况1：当$a + 1 = 0$，即$a = -1$时，方程左边为$0$，右边为$-1 + 5 = 4$，$0 \neq 4$，方程无解。
情况2：当$a + 1 \neq 0$，即$a \neq -1$时，$x = \frac{a + 5}{a + 1}$。若原分式方程无解，则$x = 2$是增根，代入得$\frac{a + 5}{a + 1} = 2$，解得$a = 3$。
综上，$a$的值为$-1$或$3$。
D
3. 已知关于$x$的分式方程$\frac{5}{x} = \frac{a}{x - 2}$有解，则$a$的取值范围为
$a\neq5$且$a\neq0$
.
答案：3.$a\neq5$且$a\neq0$
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 2)$，得$5(x - 2)=ax$，
去括号，得$5x - 10 = ax$，
移项、合并同类项，得$(5 - a)x=10$，
当$5 - a\neq0$，即$a\neq5$时，$x=\frac{10}{5 - a}$，
因为分式方程有解，所以$x\neq0$且$x - 2\neq0$，
即$\frac{10}{5 - a}\neq0$且$\frac{10}{5 - a}-2\neq0$，
$\frac{10}{5 - a}\neq0$恒成立，
由$\frac{10}{5 - a}-2\neq0$，得$\frac{10 - 2(5 - a)}{5 - a}\neq0$，即$\frac{2a}{5 - a}\neq0$，
所以$2a\neq0$且$5 - a\neq0$，解得$a\neq0$且$a\neq5$，
综上，$a$的取值范围为$a\neq5$且$a\neq0$。
4. 新素养
运算能力(2025·江苏苏州期末)若关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - 1} + \frac{kx}{x^{2} - 1} = \frac{3}{x + 1}$有增根，则$k =$
$-4$或$6$
.
答案：4.$-4$或$6$
解析：
解：方程两边同乘$(x - 1)(x + 1)$，得$2(x + 1) + kx = 3(x - 1)$。
分式方程的增根为$x = 1$或$x = -1$。
当$x = 1$时，代入整式方程：$2(1 + 1) + k×1 = 3(1 - 1)$，解得$k = -4$。
当$x = -1$时，代入整式方程：$2(-1 + 1) + k×(-1) = 3(-1 - 1)$，解得$k = 6$。
综上，$k = -4$或$6$。
5. （教材P144练习变式）解方程：
（1）$\frac{3}{x + 3} + \frac{2x}{x^{2} - 9} = \frac{1}{x - 3}$；
（2）$\frac{x}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x^{2} - 4}$；
（3）$\frac{x + 1}{4x^{2} - 1} = \frac{3}{2x + 1} - \frac{4}{4x - 2}$.
答案：5.(1)方程两边同乘$(x + 3)(x - 3)$，得$3(x - 3) + 2x = x + 3$，解得$x = 3$。经检验，$x = 3$是原方程的增根，所以原方程无解。
(2)方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$x(x - 2) - (x + 2)(x + 2) = 8$，解得$x = -2$。经检验，$x = -2$是原方程的增根，所以原方程无解。
(3)方程两边同乘$(2x + 1)(2x - 1)$，得$x + 1 = 3(2x - 1) - 2(2x + 1)$，解得$x = 6$。经检验，$x = 6$是原方程的解。
6. 新趋势 情境素材 小华想复习分式方程，由于印刷问题，方程$\frac{?}{x - 2} + 3 = \frac{1}{2 - x}$中有一个数“?”看不清楚.
（1）他把这个数“?”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到答案是‘方程的增根是$x = 2$，原方程无解’.”请你求出原方程中的数“?”.
答案：6.(1)方程两边同乘$(x - 2)$，得$5 + 3(x - 2) = -1$，解得$x = 0$。经检验，$x = 0$是原方程的解。
(2)设数“?”为$m$，方程两边同乘$(x - 2)$，得$m + 3(x - 2) = -1$。因为$x = 2$是原方程的增根，所以把$x = 2$代入$m + 3(x - 2) = -1$中，得$m + 3×(2 - 2) = -1$，即$m = -1$。所以原方程中数“?”是$-1$。
7. (2025·黑龙江龙东地区改编)已知关于$x$的分式方程$\frac{x + k}{x - 4} - \frac{2k}{4 - x} = 3$的解为负数，则$k$的取值范围为(
A
)
A.$k ＜ - 4$
B.$k ＞ - 4$
C.$k \neq - \frac{4}{3}$
D.$k ＞ - 4$且$k \neq - \frac{4}{3}$
答案：7.A
解析：
方程两边同乘$(x - 4)$，得$x + k + 2k = 3(x - 4)$，
去括号，得$x + 3k = 3x - 12$，
移项、合并同类项，得$-2x = -12 - 3k$，
解得$x = \frac{12 + 3k}{2}$，
因为分式方程的解为负数，所以$\frac{12 + 3k}{2} ＜ 0$，
解得$k ＜ -4$，
又因为$x - 4 \neq 0$，即$\frac{12 + 3k}{2} - 4 \neq 0$，
解得$k \neq -\frac{4}{3}$，
但$k ＜ -4$时，$k \neq -\frac{4}{3}$已自动满足，
所以$k$的取值范围为$k ＜ -4$。
A
