1. 已知 $ a + b - 2ab = 0 $，且 $ ab + a + b \neq 0 $，则 $\frac{2a - 5ab + 2b}{a + ab + b}$ 的值为
$-\frac{1}{3}$
。
答案：1. $-\frac{1}{3}$
解析：
由 $a + b - 2ab = 0$，得 $a + b = 2ab$。
将 $a + b = 2ab$ 代入原式：
$\begin{aligned}\frac{2a - 5ab + 2b}{a + ab + b}&=\frac{2(a + b) - 5ab}{(a + b) + ab}\\&=\frac{2×2ab - 5ab}{2ab + ab}\\&=\frac{4ab - 5ab}{3ab}\\&=\frac{-ab}{3ab}\\&=-\frac{1}{3}\end{aligned}$
$-\frac{1}{3}$
2. 先化简，再求值：$[\frac{1}{(a - 1)^2} - \frac{1}{(a + 1)^2}] ÷ (\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{a + 1}) · \frac{a^2 + a - 2}{a^2 - 4}$，其中 $ a $ 满足 $ 2a^2 - 2a - 3 = 0 $。
答案：2. 原式=$[(\frac{1}{a-1})^{2}-(\frac{1}{a+1})^{2}] ÷(\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1})$.
$\frac{(a-1)(a+2)}{(a-2)(a+2)}=(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}) · \frac{a-1}{a-2}=$
$\frac{2}{(a+1)(a-1)} · \frac{a-1}{a-2}=\frac{2}{a^{2}-a-2}$. 因为 $2 a^{2}-2a-3=0$,所以 $2 a^{2}-2a=3$,即 $a^{2}-a=\frac{3}{2}$. 所以
原式=$\frac{2}{\frac{3}{2}-2}=-4$.
3. (2025·江苏镇江模拟)已知 $ 5^a = 2^b = 10 $，则分式 $\frac{a + b}{ab}$ 的值为(
C
)
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$ 1 $
D.$ 2 $
答案：3. C
解析：
因为$5^a = 10$，所以$a = \log_5{10}$；因为$2^b = 10$，所以$b = \log_2{10}$。
$\frac{a + b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$
$\frac{1}{a} = \log_{10}{5}$，$\frac{1}{b} = \log_{10}{2}$
所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \log_{10}{5} + \log_{10}{2} = \log_{10}(5×2) = \log_{10}{10} = 1$
即$\frac{a + b}{ab} = 1$
C
4. 已知 $[(x^2 + y^2) - (x - y)^2 + 2y(x - y)] ÷ 4y = 1$，则代数式 $\frac{4x}{4x^2 - y^2} - \frac{1}{2x + y}$ 的值为
$\frac{1}{2}$
。
答案：4. $\frac{1}{2}$
解析：
解：对已知等式左边化简：
$\begin{aligned}&[(x^2 + y^2) - (x - y)^2 + 2y(x - y)] ÷ 4y\\=&[x^2 + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2) + 2xy - 2y^2] ÷ 4y\\=&[x^2 + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 + 2xy - 2y^2] ÷ 4y\\=&(4xy - 2y^2) ÷ 4y\\=&\frac{2y(2x - y)}{4y}\\=&\frac{2x - y}{2}\end{aligned}$
由已知得$\frac{2x - y}{2}=1$，即$2x - y = 2$。
化简代数式：
$\begin{aligned}&\frac{4x}{4x^2 - y^2} - \frac{1}{2x + y}\\=&\frac{4x}{(2x + y)(2x - y)} - \frac{1}{2x + y}\\=&\frac{4x - (2x - y)}{(2x + y)(2x - y)}\\=&\frac{2x + y}{(2x + y)(2x - y)}\\=&\frac{1}{2x - y}\end{aligned}$
将$2x - y = 2$代入，得$\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
5. 已知 $\begin{cases}2025a^2 - 2026a - 1 = 0, \\ 2025b = \frac{1}{b} + 2026,\end{cases}$ 且 $ a \neq b $，求代数式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值。
答案：5. 由题意,得 $a \neq 0, b \neq 0$. 因为 $2025 b=\frac{1}{b}+2026$,所以 $\frac{1}{b}=2025 b-2026,2025 b^{2}-2026 b-1=0$. 又 $2025 a^{2}-2026 a-1=0$,所以 $2025(a^{2}-b^{2})-2026(a-b)=0$,即 $(a-b) ·[2025(a+b)-2026]=0$. 又 $a \neq b$,所以 $a-b \neq 0$,即 $2025(a+b)-2026=0$. 所以 $2025(a+b)=2026$. 又 $2025 a^{2}-2026 a-1=0$,所以 $\frac{1}{a}=2025 a-2026$. 所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2025 a-2026+2025 b-2026=2025(a+b)-2026 × 2=2026-2026 ×2=-2026$.
解析：
由题意，得$a \neq 0$，$b \neq 0$。
因为$2025b = \frac{1}{b} + 2026$，等式两边同乘$b$得$2025b^2 = 1 + 2026b$，即$2025b^2 - 2026b - 1 = 0$。
又$2025a^2 - 2026a - 1 = 0$，两式相减得$2025(a^2 - b^2) - 2026(a - b) = 0$，因式分解得$(a - b)[2025(a + b) - 2026] = 0$。
因为$a \neq b$，所以$a - b \neq 0$，则$2025(a + b) - 2026 = 0$，即$2025(a + b) = 2026$。
由$2025a^2 - 2026a - 1 = 0$，等式两边同除以$a$（$a \neq 0$）得$2025a - 2026 - \frac{1}{a} = 0$，所以$\frac{1}{a} = 2025a - 2026$。
同理，由$2025b^2 - 2026b - 1 = 0$，等式两边同除以$b$（$b \neq 0$）得$\frac{1}{b} = 2025b - 2026$。
所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2025a - 2026 + 2025b - 2026 = 2025(a + b) - 4052$。
因为$2025(a + b) = 2026$，所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2026 - 4052 = -2026$。
$-2026$
6. (2025·江苏泰州模拟)若 $ x^2 + 5x + 1 = 0 $，则 $(\frac{x^2 + 4}{x} - 4) ÷ \frac{x - 2}{x^2} + (x + \frac{1}{x}) ÷ x + 2x - 1$ 的值为(
B
)
A.$-23$
B.$ 23 $
C.$-27$
D.$ 27 $
答案：6. B
解析：
$\begin{aligned}&(\frac{x^2 + 4}{x} - 4) ÷ \frac{x - 2}{x^2} + (x + \frac{1}{x}) ÷ x + 2x - 1\\=&(\frac{x^2 + 4 - 4x}{x}) · \frac{x^2}{x - 2} + (\frac{x^2 + 1}{x}) · \frac{1}{x} + 2x - 1\\=&\frac{(x - 2)^2}{x} · \frac{x^2}{x - 2} + \frac{x^2 + 1}{x^2} + 2x - 1\\=&x(x - 2) + \frac{x^2 + 1}{x^2} + 2x - 1\\=&x^2 - 2x + \frac{x^2 + 1}{x^2} + 2x - 1\\=&x^2 + \frac{x^2 + 1}{x^2} - 1\\=&x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} - 1\\=&x^2 + \frac{1}{x^2}\end{aligned}$
由$x^2 + 5x + 1 = 0$，两边同除以$x$（$x\neq0$）得$x + 5 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = -5$。
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (-5)^2 - 2 = 25 - 2 = 23$
答案：B
7. 已知 $ a^2 + \frac{1}{a^2} = 23 $，则 $ a + \frac{1}{a} - 2 = $
3或-7
。
答案：7. 3或-7
解析：
解：设$ t = a + \frac{1}{a} $，则$ t^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} $。
已知$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 23 $，代入得$ t^2 = 23 + 2 = 25 $，解得$ t = \pm 5 $。
当$ t = 5 $时，$ a + \frac{1}{a} - 2 = 5 - 2 = 3 $；
当$ t = -5 $时，$ a + \frac{1}{a} - 2 = -5 - 2 = -7 $。
3或-7
8. 已知实数 $ a,b,c $ 满足 $ a + b + c = 13,a^2 + b^2 + c^2 = 77,abc = 48 $，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的值。
答案：8. 因为 $a+b+c=13$,所以 $(a+b+c)^{2}=(a+b)^{2}+$
$2 c(a+b)+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+a c+b c)=169$.又 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=77$,所以 $a b+a c+b c=\frac{169-77}{2}=46$. 因为 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a b+a c+b c}{a b c}$,且$a b c=48$,所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{46}{48}=\frac{23}{24}$.
9. (1)已知实数 $ a $ 满足 $ a + \frac{1}{a} = -5 $，则分式 $\frac{a}{3a^2 + 5a + 3}$ 的值为
$-\frac{1}{10}$
；
(2)已知实数 $ x $ 满足 $ x + \frac{1}{x + 1} = 9 $，则分式 $\frac{x + 1}{x^2 + 5x + 5}$ 的值为
$\frac{1}{13}$
。
答案：9. (1) $-\frac{1}{10}$ 解析：由题意，得 $a \neq 0$,所以
$\frac{3 a^{2}+5 a+3}{a}=3 a+5+\frac{3}{a}=3(a+\frac{1}{a})+5$. 又 $a+\frac{1}{a}=-5$,所以 $\frac{3 a^{2}+5 a+3}{a}=3 ×(-5)+5=-10$,即 $\frac{3 a^{2}+5 a+3}{a} \frac{1}{10}$
(2) $\frac{1}{13}$ 解析：由题意，得 $x+1 \neq 0$,所以
$\frac{x^{2}+5 x+5}{x+1}=\frac{(x^{2}+x)+(4 x+4)+1}{x+1}=x+4+\frac{1}{x+1}$.又 $x+\frac{1}{x+1}=9$,所以 $\frac{x^{2}+5 x+5}{x+1}=9+4=13$,即 $\frac{x+1}{x^{2}+5 x+5}=\frac{1}{13}$.
10. 已知 $ x,y,z $ 是三个不为零的实数，且 $\frac{xy}{x + y} = \frac{2}{3},\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3},\frac{xz}{x + z} = \frac{4}{5}$，求 $\frac{xyz}{xy + yz + xz}$ 的值。
答案：10. 由题意,得 $\frac{x+y}{x y}=\frac{3}{2}, \frac{y+z}{y z}=\frac{3}{4}, \frac{x+z}{x z}=\frac{5}{4}$,所以 $\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{3}{2}, \frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}, \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{5}{4}$,即 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{7}{4}$. 因为 $\frac{x y+y z+x z}{x y z}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{4}$,所以 $\frac{x y z}{x y+y z+x z}=\frac{4}{7}$.
解析：
由题意，得$\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2}$，$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，$\frac{x+z}{xz}=\frac{5}{4}$，
所以$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$，$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{5}{4}$，
三式相加得$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{6}{4}+\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$，
即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{7}{4}$。
因为$\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{4}$，
所以$\frac{xyz}{xy+yz+xz}=\frac{4}{7}$。
