11. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即 $ \dfrac{4 - x^{2}}{3x^{2} - 2xy} ÷ \blacksquare $，通过查看答案，知道本题结果为 $ \dfrac{x + 2}{3x - 2y} $，则被污染的代数式为
$\frac{2 - x}{x}$
。
答案：$11.\frac{2 - x}{x}$
解析：
设被污染的代数式为$A$，则$\dfrac{4 - x^{2}}{3x^{2} - 2xy} ÷ A = \dfrac{x + 2}{3x - 2y}$。
$A = \dfrac{4 - x^{2}}{3x^{2} - 2xy} ÷ \dfrac{x + 2}{3x - 2y}$
$=\dfrac{(2 - x)(2 + x)}{x(3x - 2y)} × \dfrac{3x - 2y}{x + 2}$
$=\dfrac{2 - x}{x}$
$\dfrac{2 - x}{x}$
12. 在计算 $ \dfrac{m^{2}}{m - 1} ÷ \dfrac{\otimes}{m - 1} $ 时，“$ \otimes $”部分看不清，且小明把运算符号“$ ÷ $”看成了“$ + $”，得到了计算结果是 $ m $，则这道题正确的结果是
-m
。
答案：12.-m
解析：
设“$\otimes$”部分为$x$。
由题意得：$\dfrac{m^{2}}{m - 1} + \dfrac{x}{m - 1} = m$
$\dfrac{m^{2} + x}{m - 1} = m$
$m^{2} + x = m(m - 1)$
$m^{2} + x = m^{2} - m$
$x = -m$
则正确式子为：$\dfrac{m^{2}}{m - 1} ÷ \dfrac{-m}{m - 1} = \dfrac{m^{2}}{m - 1} × \dfrac{m - 1}{-m} = -m$
$-m$
13. 已知 $ A = \dfrac{x^{2} + x}{x - 4} ÷ \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} - 8x + 16} $，$ B = \dfrac{x^{2} - x}{1 - x} $。
（1）化简分式 $ A $；
（2）若 $ C = A × \dfrac{1}{B} $，则当 $ x $ 取什么整数时，分式 $ C $ 的值为整数？
答案：$13.(1)A=\frac{x^{2}+x}{x - 4} ÷ \frac{x^{2}-1}{x^{2}-8x + 16} = \frac{x(x + 1)}{x - 4} ·$
$\frac{(x - 4)^{2}}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^{2}-4x}{x - 1}$
(2)由(1),得$A=\frac{x^{2}-4x}{x - 1}.$又$C = A×\frac{1}{B},B =$
$\frac{x^{2}-x}{1 - x} = \frac{-x(1 - x)}{1 - x} = -x,$所以$C=\frac{x^{2}-4x}{x - 1} ÷$
$(-\frac{1}{x}) = \frac{x - 4}{x - 1} · \frac{-x - 1 - 3}{x - 1} = -(1 - \frac{3}{x - 1}) =$
$-\frac{3}{x - 1}-1.$又分式C的值为整数,所以x - 1 =
$\pm1$或$\pm3$且$x - 4\neq0,x^{2}-1\neq0,(x - 4)^{2}\neq0,$
14. （2025·江苏苏州模拟）在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道题，计算：$ ( a + \dfrac{1}{a} ) ( a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}} ) ( a^{4} + \dfrac{1}{a^{4}} ) ( a^{8} + \dfrac{1}{a^{8}} ) · (a^{2} - 1) $，同学们都感到无从下手，小明将 $ a^{2} - 1 $ 变形为 $ a ( a - \dfrac{1}{a} ) $，然后用平方差公式很轻松地得出结果。你知道他是怎么做的吗？
答案：14.原式$=a(a - \frac{1}{a})(a + \frac{1}{a})(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}}).$
$(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})=a(a^{2} - \frac{1}{a^{2}})(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}}).$
$(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})=a(a^{4} - \frac{1}{a^{4}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}})=$
$a(a^{8} - \frac{1}{a^{8}})=a(a^{16} - \frac{1}{a^{16}})=a^{17} - \frac{1}{a^{15}}.$
15. 若 $ \dfrac{m}{3} = \dfrac{n}{2} \neq 0 $，则 $ \dfrac{3m - n}{4m^{2} - n^{2}} · (2m + n) $ 的值为
$\frac{7}{4}$
。
答案：$15.\frac{7}{4} $解析:原式$=\frac{3m - n}{(2m + n)(2m - n)} · (2m +$
$n)=\frac{3m - n}{2m - n}.$由题意,设$\frac{m}{3} = \frac{n}{2} = k,$则m = 3k,
n = 2k.所以原式$=\frac{9k - 2k}{6k - 2k} = \frac{7}{4}$
16. (新趋势
情境素材)【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
(1)完成上表；
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价(均价 $ = $ 总金额 $ ÷ $ 总质量)。
【数学思考】设甲每次买质量为 $ m $ 千克的菜，乙每次买金额为 $ n $ 元的菜，两次的单价分别是 $ a $ 元/千克、$ b $ 元/千克，用含有 $ m $，$ n $，$ a $，$ b $ 的代数式，分别表示出甲、乙两次买菜的均价 $ \overline{x}_{\mathrm{甲}} $，$ \overline{x}_{\mathrm{乙}} $。比较 $ \overline{x}_{\mathrm{甲}} $，$ \overline{x}_{\mathrm{乙}} $ 的大小，并说明理由。
【知识迁移】某船在相距为 $ s $ 的甲、乙两码头间往返航行一次，在水流速度为 $ 0 $ 时，船的速度为 $ v $，所需时间为 $ t_{1} $；当水流速度为 $ p $ 时($ p ＜ v $)，船顺水航行速度为 $ (v + p) $，逆水航行速度为 $ (v - p) $，所需时间为 $ t_{2} $。请借鉴上面的研究经验，比较 $ t_{1} $，$ t_{2} $ 的大小，并说明理由。
答案：16.【生活观察】(1)2 1.5
(2)由题表,得甲两次买菜的均价为$\frac{3 + 2}{1 + 1} =$
2.5(元/千克);乙两次买菜的均价为$\frac{3 + 3}{1 + 1.5} =$
2.4(元/千克).
【数学思考】由题意,得$\overline{x}_{甲} = \frac{am + bm}{m + m} =$
$\frac{a + b}{2}($元/千克$),\overline{x}_{乙} = \frac{n + n}{\frac{n}{a} + \frac{n}{b}} = \frac{2n}{n(b + a)} =$
$\frac{2ab}{a + b}($元/千克$).\overline{x}_{甲} \geqslant \overline{x}_{乙}.$理由如下$:\frac{\overline{x}_{甲}}{\overline{x}_{乙}} =$
$\frac{\frac{a + b}{2}}{\frac{2ab}{a + b}} = \frac{(a + b)^{2}}{4ab}.$又$(a + b)^{2} - 4ab = (a - b)^{2} \geqslant 0,$
所以$(a + b)^{2} \geqslant 4ab,$且4ab ＞ 0,即$\frac{(a + b)^{2}}{4ab} \geqslant 1.$所
以$\frac{\overline{x}_{甲}}{\overline{x}_{乙}} \geqslant 1,$即$\overline{x}_{甲} \geqslant \overline{x}_{乙}.$
【知识迁移$】t_{2} ＞ t_{1}.$理由如下:由题意,得$t_{1} = \frac{2s}{v},$
$t_{2} = \frac{s}{v + p} + \frac{s}{v - p} = \frac{2sv}{v^{2}-p^{2}}.$所以$\frac{t_{2}}{t_{1}} = \frac{2sv}{v^{2}-p^{2}} ÷$
$\frac{2s}{v} = \frac{v^{2}}{v^{2}-p^{2}}.$因为v ＞ p ＞ 0,所以$v^{2} ＞ v^{2}-p^{2} ＞ 0.$所以$\frac{v^{2}}{v^{2}-p^{2}} ＞ 1,$即$\frac{t_{2}}{t_{1}} ＞ 1.$所以
$t_{2} ＞ t_{1}.$
