1. 计算 $ x^{3} · ( \dfrac{y^{3}}{x} )^{2} $ 的结果是(
A
)
A.$ xy^{6} $
B.$ xy^{5} $
C.$ x^{2}y^{5} $
D.$ x^{2}y^{6} $
答案：1.A
解析：
$x^{3} · ( \dfrac{y^{3}}{x} )^{2} = x^{3} · \dfrac{y^{6}}{x^{2}} = x y^{6}$，答案选A。
2. 计算 $ \dfrac{x - 3}{x - 2} ÷ \dfrac{x^{2} - 6x + 9}{2x^{2} - 4x} $ 的结果为(
B
)
A.$ \dfrac{x}{x - 3} $
B.$ \dfrac{2x}{x - 3} $
C.$ \dfrac{2}{x - 3} $
D.$ 2x $
答案：2.B
解析：
$\begin{aligned}&\frac{x - 3}{x - 2} ÷ \frac{x^{2} - 6x + 9}{2x^{2} - 4x}\\=&\frac{x - 3}{x - 2} × \frac{2x(x - 2)}{(x - 3)^2}\\=&\frac{2x}{x - 3}\end{aligned}$
B
3. (2025·江苏连云港模拟)如果 $ ( \dfrac{a^{3}}{b^{2}} )^{2} ÷ ( \dfrac{a}{b^{3}} )^{2} = 3 $，那么 $ a^{8}b^{4} $ 的值为
9
。
答案：3.9
解析：
$\begin{aligned}(\dfrac{a^{3}}{b^{2}})^{2} ÷ (\dfrac{a}{b^{3}})^{2}&=\dfrac{a^{6}}{b^{4}} ÷ \dfrac{a^{2}}{b^{6}}\\&=\dfrac{a^{6}}{b^{4}} × \dfrac{b^{6}}{a^{2}}\\&=a^{4}b^{2}\end{aligned}$
因为$a^{4}b^{2}=3$，所以$(a^{4}b^{2})^{2}=a^{8}b^{4}=3^{2}=9$
9
4. (亮点原创)已知分式 $ \dfrac{m^{2} - n^{2}}{2m - 3n} $ 乘一个分式 $ A $ 后的结果为 $ \dfrac{(m - n)^{2}}{3n - 2m} $，则这个分式 $ A $ 为
$\frac{n - m}{m + n}$
。
答案：$4.\frac{n - m}{m + n}$
解析：
解：由题意得，$A = \dfrac{(m - n)^{2}}{3n - 2m} ÷ \dfrac{m^{2} - n^{2}}{2m - 3n}$
$\begin{aligned}A&=\dfrac{(m - n)^{2}}{-(2m - 3n)} × \dfrac{2m - 3n}{(m + n)(m - n)}\\&=\dfrac{(m - n)^{2}(2m - 3n)}{-(2m - 3n)(m + n)(m - n)}\\&=\dfrac{m - n}{-(m + n)}\\&=\dfrac{n - m}{m + n}\end{aligned}$
$\frac{n - m}{m + n}$
5. (亮点原创)已知 $ a ＞ 1 $，则 $ \dfrac{1}{a^{2} - a} $ 与 $ \dfrac{1}{a^{2} - 1} $ 之间的大小关系为
$\frac{1}{a^{2}-a} ＞ \frac{1}{a^{2}-1}$
。
答案：$5.\frac{1}{a^{2}-a} ＞ \frac{1}{a^{2}-1}$
解析：
解：因为 $a ＞ 1$，所以 $a - 1 ＞ 0$，$a + 1 ＞ 0$，$a ＞ 0$。
$a^2 - a = a(a - 1)$，$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$。
因为 $a ＜ a + 1$，且 $a(a - 1) ＞ 0$，$(a - 1)(a + 1) ＞ 0$，所以 $a(a - 1) ＜ (a - 1)(a + 1)$。
分子相同，分母小的分数大，所以 $\frac{1}{a^2 - a} ＞ \frac{1}{a^2 - 1}$。
$\frac{1}{a^{2}-a} ＞ \frac{1}{a^{2}-1}$
6. （新素养 运算能力）计算：
（1）（2025·内蒙古）$ \dfrac{x^{2} - 1}{x} · \dfrac{x}{x^{2} + 2x + 1} $；
（2）$ \dfrac{x + 5}{x^{2} - 4x + 4} ÷ \dfrac{x^{2} + 5x}{(x - 2)^{2}} $。
答案：6.(1)原式$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x} · \frac{x}{(x + 1)^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1}$
(2)原式$=\frac{x + 5}{(x - 2)^{2}} · \frac{(x - 2)^{2}}{x(x + 5)} = \frac{1}{x}$
7. （1）（2025·安徽）先化简，再求值：$ \dfrac{2}{x^{2} + 2x + 1} ÷ \dfrac{1}{x^{2} - 1} $，其中 $ x = 3 $；
（2）（2025·江苏南京模拟）化简代数式 $ \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2x} ÷ \dfrac{x - 1}{x} $，并判断当 $ x $ 满足不等式组 $ \begin{cases} x + 2 ＜ 1, \\ 2(x - 1) ＞ -6 \end{cases} $ 时该代数式值的符号。
答案：7.(1)原式$=\frac{2}{(x + 1)^{2}} · (x + 1)(x - 1) = \frac{2(x - 1)}{x + 1}.$当x = 3时,原式$=\frac{2×(3 - 1)}{3 + 1}=1.$
(2)原式$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x + 2)} · \frac{x}{x - 1} · \frac{x + 1}{x + 2}.$解不等
式组$\begin{cases}x + 2 ＜ 1 \\2(x - 1) ＞ -6\end{cases}$
得-2 ＜ x ＜ -1.当-2 ＜
x ＜ -1时,-1 ＜ x + 1 ＜ 0,0 ＜ x + 2 ＜ 1,所以
$\frac{x + 1}{x + 2} ＜ 0,$即该代数式值的符号为负.
8. (2025·江苏盐城模拟)使式子 $ \dfrac{x + 3}{x - 3} ÷ \dfrac{x + 5}{x - 4} $ 有意义的 $ x $ 的取值范围是(
D
)
A.$ x \neq 3 $ 且 $ x \neq -5 $
B.$ x \neq 3 $ 且 $ x \neq 4 $
C.$ x \neq 4 $ 且 $ x \neq -5 $
D.$ x \neq 3 $，$ x \neq 4 $ 且 $ x \neq -5 $
答案：8.D
解析：
要使式子$\dfrac{x + 3}{x - 3} ÷ \dfrac{x + 5}{x - 4}$有意义，需满足：
1. 分母不为$0$，即$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$；
2. 除数的分子不为$0$（除数不能为$0$），即$x + 5 \neq 0$，解得$x \neq -5$；
3. 除数的分母不为$0$，即$x - 4 \neq 0$，解得$x \neq 4$。
综上，$x$的取值范围是$x \neq 3$，$x \neq 4$且$x \neq -5$。
D
9. 若计算 $ \dfrac{4x^{2}}{x^{2} - 2x + 1} ÷ \dfrac{2x}{x + 3 - a} $ 的结果为 $ \dfrac{2x}{x - 1} $，则 $ a $ 的值为(
A
)
A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
答案：9.A
解析：
解：$\dfrac{4x^{2}}{x^{2}-2x + 1}÷\dfrac{2x}{x + 3 - a}=\dfrac{4x^{2}}{(x - 1)^{2}}·\dfrac{x + 3 - a}{2x}=\dfrac{2x(x + 3 - a)}{(x - 1)^{2}}$
由题意得$\dfrac{2x(x + 3 - a)}{(x - 1)^{2}}=\dfrac{2x}{x - 1}$，两边同除以$\dfrac{2x}{x - 1}$（$x\neq0$且$x\neq1$），得$\dfrac{x + 3 - a}{x - 1}=1$
则$x + 3 - a=x - 1$，解得$a = 4$
A
10. 如果代数式 $ m^{2} + 2m = 1 $，那么 $ \dfrac{m^{2} + 4m + 4}{m} ÷ \dfrac{m + 2}{m^{2}} $ 的值为
1
。
答案：10.1
解析：
$\begin{aligned}&\dfrac{m^{2} + 4m + 4}{m} ÷ \dfrac{m + 2}{m^{2}}\\=&\dfrac{(m + 2)^2}{m} × \dfrac{m^2}{m + 2}\\=&m(m + 2)\\=&m^2 + 2m\\=&1\end{aligned}$
