1. (2025·新疆)计算：$\dfrac{x}{x - 2y} - \dfrac{2y}{x - 2y} =$(
A
)
A.1
B.$x - 2y$
C.$\dfrac{1}{x - 2y}$
D.$\dfrac{x - 2y}{ - 4}$
答案：1.A
解析：
$\dfrac{x}{x - 2y} - \dfrac{2y}{x - 2y} = \dfrac{x - 2y}{x - 2y} = 1$，A
2. 化简$\dfrac{1}{xy + y^{2}} + \dfrac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$的结果是(
D
)
A.$\dfrac{y - 1}{y(x + y)}$
B.$\dfrac{y + 1}{y(x - y)}$
C.$\dfrac{y - 1}{y(x - y)}$
D.$\dfrac{y + 1}{y(x + y)}$
答案：2.D
解析：
$\begin{aligned}&\dfrac{1}{xy + y^{2}} + \dfrac{x - y}{x^{2} - y^{2}}\\=&\dfrac{1}{y(x + y)} + \dfrac{x - y}{(x + y)(x - y)}\\=&\dfrac{1}{y(x + y)} + \dfrac{1}{x + y}\\=&\dfrac{1}{y(x + y)} + \dfrac{y}{y(x + y)}\\=&\dfrac{1 + y}{y(x + y)}\end{aligned}$
D
3. 计算：
(1) (2025·广东深圳)$\dfrac{a^{2}}{a + 1} - \dfrac{1}{a + 1} =$
a - 1
；
(2) (2025·河南改编)$\dfrac{x^{2} - 2}{x - 1} - \dfrac{1}{1 - x} =$
x + 1
；
(3) (2025·天津改编)$\dfrac{2}{a^{2} - 1} + \dfrac{1}{a + 1} =$
$\frac{1}{a - 1}$
。
答案：3.(1)a - 1 (2)x + 1 (3)$\frac{1}{a - 1}$
解析：
(1) $\dfrac{a^{2}}{a + 1} - \dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{a^{2} - 1}{a + 1} = \dfrac{(a + 1)(a - 1)}{a + 1} = a - 1$
(2) $\dfrac{x^{2} - 2}{x - 1} - \dfrac{1}{1 - x} = \dfrac{x^{2} - 2}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{x^{2} - 2 + 1}{x - 1} = \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1} = \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1$
(3) $\dfrac{2}{a^{2} - 1} + \dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{2}{(a + 1)(a - 1)} + \dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)} = \dfrac{2 + a - 1}{(a + 1)(a - 1)} = \dfrac{a + 1}{(a + 1)(a - 1)} = \dfrac{1}{a - 1}$
4. 已知$M = \dfrac{a + 1}{a + 2}$，$N = \dfrac{a + 2}{a + 3}$，$a ＞ 0$，则$M$，$N$之间的大小关系为
M ＜ N
。
答案：4.M ＜ N
解析：
解：$M - N = \dfrac{a + 1}{a + 2} - \dfrac{a + 2}{a + 3}$
$= \dfrac{(a + 1)(a + 3) - (a + 2)^2}{(a + 2)(a + 3)}$
$= \dfrac{a^2 + 4a + 3 - (a^2 + 4a + 4)}{(a + 2)(a + 3)}$
$= \dfrac{-1}{(a + 2)(a + 3)}$
因为$a ＞ 0$，所以$(a + 2)(a + 3) ＞ 0$，则$\dfrac{-1}{(a + 2)(a + 3)} ＜ 0$，即$M - N ＜ 0$，所以$M ＜ N$。
$M ＜ N$
5. 已知等式“$\dfrac{b^{2}}{a(a + b)} - ◯ = \dfrac{a}{a + b}$”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是
$\frac{b - a}{a}$
。
答案：5.$\frac{b - a}{a}$
解析：
设被覆盖的部分为$x$，则$\frac{b^{2}}{a(a + b)} - x = \frac{a}{a + b}$，
$x=\frac{b^{2}}{a(a + b)} - \frac{a}{a + b}$
$=\frac{b^{2}}{a(a + b)} - \frac{a^{2}}{a(a + b)}$
$=\frac{b^{2}-a^{2}}{a(a + b)}$
$=\frac{(b - a)(b + a)}{a(a + b)}$
$=\frac{b - a}{a}$
$\frac{b - a}{a}$
6. (教材 P134 练习 1 变式)计算：
(1) $\dfrac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2a} + \dfrac{4a - 5}{2a - a^{2}}$；
(2) $y - 1 + \dfrac{2y + 4}{y^{2} - 4} + \dfrac{2y - 6}{y - 2}$。
答案：6.(1)原式$=\frac{a^2 - 1 - 4a + 5}{a^2 - 2a}=\frac{(a - 2)^2}{a(a - 2)}=\frac{a - 2}{a}$。
(2)原式$=y - 1 + \frac{2}{y - 2} + \frac{2y - 6}{y - 2}=y - 1 + 2=y + 1$。
7. (2024·四川乐山)先化简，再求值：$\dfrac{2x}{x^{2} - 4} - \dfrac{1}{x - 2}$，其中$x = 3$。小乐同学的计算过程如下：
解：原式$= \dfrac{2x}{(x + 2)(x - 2)} - \dfrac{1}{x - 2}$ ①
$= \dfrac{2x}{(x + 2)(x - 2)} - \dfrac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}$ ②
$= \dfrac{2x - x + 2}{(x + 2)(x - 2)}$ ③
$= \dfrac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}$ ④
$= \dfrac{1}{x - 2}$。 ⑤
当$x = 3$时，原式$= 1$。
(1) 小乐同学的解答过程中，第
③
步开始出现了错误；
(2) 请帮助小乐同学写出正确的解答过程。
答案：7.(1)③
(2)原式$=\frac{2x - x - 2}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{1}{x + 2}$。当$x = 3$时，原式$=\frac{1}{3 + 2}=\frac{1}{5}$。
8. 计算$\dfrac{1}{1 - a} + \dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{2}{a^{2} + 1} + \dfrac{4}{a^{4} + 1} + \dfrac{8}{a^{8} + 1}$的结果是(
D
)
A.0
B.$\dfrac{8}{1 - a^{8}}$
C.$\dfrac{8}{1 - a^{16}}$
D.$\dfrac{16}{1 - a^{16}}$
答案：8.D
解析：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{a + 1} + \frac{2}{a^2 + 1} + \frac{4}{a^4 + 1} + \frac{8}{a^8 + 1}\\=&\frac{(a + 1) + (1 - a)}{(1 - a)(a + 1)} + \frac{2}{a^2 + 1} + \frac{4}{a^4 + 1} + \frac{8}{a^8 + 1}\\=&\frac{2}{1 - a^2} + \frac{2}{a^2 + 1} + \frac{4}{a^4 + 1} + \frac{8}{a^8 + 1}\\=&\frac{2(a^2 + 1) + 2(1 - a^2)}{(1 - a^2)(a^2 + 1)} + \frac{4}{a^4 + 1} + \frac{8}{a^8 + 1}\\=&\frac{4}{1 - a^4} + \frac{4}{a^4 + 1} + \frac{8}{a^8 + 1}\\=&\frac{4(a^4 + 1) + 4(1 - a^4)}{(1 - a^4)(a^4 + 1)} + \frac{8}{a^8 + 1}\\=&\frac{8}{1 - a^8} + \frac{8}{a^8 + 1}\\=&\frac{8(a^8 + 1) + 8(1 - a^8)}{(1 - a^8)(a^8 + 1)}\\=&\frac{16}{1 - a^{16}}\end{aligned}$
D
9. 小明和小刚骑自行车经过同样长的一段路程。小明以$a\ \mathrm{km/h}$的速度骑完全程的一半，又以$b\ \mathrm{km/h}$的速度骑完余下的路程；小刚以$a\ \mathrm{km/h}$的速度骑全程时间的一半，又以$b\ \mathrm{km/h}$的速度骑另一半时间$(a \neq b)$，则以下说法正确的是(
B
)
A.小明用时较少
B.小刚用时较少
C.时间相同
D.无法判断
答案：9.B
解析：
设总路程为$s$。
小明的总时间：$\frac{\frac{s}{2}}{a} + \frac{\frac{s}{2}}{b} = \frac{s}{2a} + \frac{s}{2b} = \frac{s(a + b)}{2ab}$
设小刚的总时间为$t$，则$\frac{t}{2}a + \frac{t}{2}b = s$，解得$t = \frac{2s}{a + b}$
比较$\frac{s(a + b)}{2ab}$与$\frac{2s}{a + b}$：
$\frac{s(a + b)}{2ab} - \frac{2s}{a + b} = s[\frac{(a + b)^2 - 4ab}{2ab(a + b)}] = s\frac{(a - b)^2}{2ab(a + b)}$
因为$a \neq b$，$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，所以$\frac{(a - b)^2}{2ab(a + b)} ＞ 0$，即$\frac{s(a + b)}{2ab} ＞ \frac{2s}{a + b}$，小刚用时较少。
B
