1. 分式 $\frac{2c}{3a^{2}b^{2}}$ 与 $\frac{3a}{-4b^{4}c}$ 的最简公分母是 (
D
)
A.$12abc$
B.$-12abc$
C.$12a^{2}b^{6}c$
D.$12a^{2}b^{4}c$
答案：1.D
解析：
确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，不同字母都要取。
对于分式$\frac{2c}{3a^{2}b^{2}}$与$\frac{3a}{-4b^{4}c}$：
系数$3$和$4$的最小公倍数是$12$；
字母$a$的最高次幂是$a^{2}$；
字母$b$的最高次幂是$b^{4}$；
字母$c$的最高次幂是$c$。
所以最简公分母是$12a^{2}b^{4}c$。
D
2. 分式 $\frac{1}{m^{2}+mn}$，$\frac{2}{n^{2}-m^{2}}$，$\frac{1}{m^{2}+n^{2}}$ 的最简公分母是
$m(m + n)(n - m)(m^2 + n^2)$
。
答案：2. $m(m + n)(n - m)(m^2 + n^2)$
3. 分式 $\frac{1}{3a + 3}$、$\frac{2}{a^{2} + 2a + 1}$ 和 $\frac{3}{a^{2} + 3a + 2}$ 通分后，各分式的分子之和为
$a^2 + 18a + 23$
。
答案：3. $a^2 + 18a + 23$
解析：
$\frac{1}{3a + 3} = \frac{1}{3(a + 1)} = \frac{(a + 1)(a + 2)}{3(a + 1)^2(a + 2)} = \frac{a^2 + 3a + 2}{3(a + 1)^2(a + 2)}$
$\frac{2}{a^2 + 2a + 1} = \frac{2}{(a + 1)^2} = \frac{6(a + 2)}{3(a + 1)^2(a + 2)} = \frac{6a + 12}{3(a + 1)^2(a + 2)}$
$\frac{3}{a^2 + 3a + 2} = \frac{3}{(a + 1)(a + 2)} = \frac{9(a + 1)}{3(a + 1)^2(a + 2)} = \frac{9a + 9}{3(a + 1)^2(a + 2)}$
分子之和为：$(a^2 + 3a + 2) + (6a + 12) + (9a + 9) = a^2 + 18a + 23$
4. 若两个分式的最简公分母为 $6a^{2}b^{3}$，且其中一个分式的分母不含字母 $a$，则另一个分式的分母可能为
答案不唯一，如:$3a^2b$
。
答案：4. 答案不唯一，如:$3a^2b$
5. （教材 P131 练习 2 变式）通分：
（1）$\frac{2}{4 - 9m^{2}}$，$\frac{3}{9m^{2} - 12m + 4}$；
（2）$\frac{1}{x^{2} - 5x}$，$\frac{2}{x^{2} - 25}$，$\frac{3}{x^{2} + 5x}$。
答案：5. (1) 因为$\frac{2}{4 - 9m^2},\frac{3}{9m^2 - 12m + 4}$的最简公分母是$(2 + 3m)(2 - 3m)^2$，所以$\frac{2}{4 - 9m^2} = \frac{2(2 - 3m)}{(2 + 3m)(2 - 3m)^2}$，
$\frac{3}{9m^2 - 12m + 4} = \frac{3(2 + 3m)}{(2 + 3m)(2 - 3m)^2}$，
(2) 因为$\frac{1}{x^2 - 5x},\frac{2}{x^2 - 25},\frac{3}{x^2 + 5x}$的最简公分母是$x(x + 5)(x - 5)$，所以$\frac{1}{x^2 - 5x} = \frac{x + 5}{x(x + 5)(x - 5)}$，
$\frac{2}{x^2 - 25} = \frac{2x}{x(x + 5)(x - 5)},\frac{3}{x^2 + 5x} = \frac{3(x - 5)}{x(x + 5)(x - 5)}$，
6. 分式 $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$，$\frac{2}{x^{2} - 9}$，$\frac{x - 2}{x^{2} + 5x + 6}$ 的最简公分母是 (
B
)
A.$(x + 3)^{2}(x + 2)(x - 2)$
B.$(x^{2} - 9)(x^{2} - 4)$
C.$(x^{2} - 9)^{2}(x - 4)^{2}$
D.$(x + 3)^{2}(x - 3)^{2}(x + 2)(x - 2)$
答案：6.B
解析：
分别对各分母进行因式分解：
$x^2 + x - 6=(x + 3)(x - 2)$
$x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)$
$x^2 + 5x + 6=(x + 2)(x + 3)$
最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，即$(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2)$，而$(x^2 - 9)(x^2 - 4)=(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2)$。
答案：B
7. 已知最简分式 $\frac{1}{5x^{m - 1}yz^{|n - 2|}}$ 与 $-\frac{1}{2xy}$($m$，$n$ 是常数)的最简公分母为 $10x^{5}yz^{2}$，则 $m =$
6
，$n =$
0或4
。
答案：7.6 0或4
解析：
要确定$m$和$n$的值，需根据最简公分母的定义分析各字母的指数：
1. 对于$x$的指数：
第一个分式中$x$的指数为$m - 1$，第二个分式中$x$的指数为$1$。
最简公分母中$x$的指数为$5$，因此$\max(m - 1, 1) = 5$。
解得$m - 1 = 5$，即$m = 6$。
2. 对于$z$的指数：
第一个分式中$z$的指数为$|n - 2|$，第二个分式中不含$z$（指数为$0$）。
最简公分母中$z$的指数为$2$，因此$\max(|n - 2|, 0) = 2$。
解得$|n - 2| = 2$，即$n - 2 = \pm 2$，故$n = 0$或$n = 4$。
答案：$m = 6$，$n = 0$或$4$。
8. 已知 $a$，$b$ 为实数，且 $ab = 3$，$a + b = 4$。
（1）通分：$\frac{a - 1}{a + 1}$，$\frac{b - 1}{b + 1}$；
（2）求 $\frac{a - 1}{a + 1}$ 的值。
答案：8.(1)$\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)(b + 1)}{(a + 1)(b + 1)},b + 1 = \frac{(a + 1)(b - 1)}{(a + 1)(b + 1)}$，
(2) 由(1)，得$\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)(b + 1)}{(a + 1)(b + 1)}$，所以$\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{ab + a - b - 1}{ab + a + b + 1}$，因为$ab = 3$，$a + b = 4$，所以$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 4^2 - 4 × 3 = 4$，即$a - b = \pm2$，当$a - b = 2$时，$\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{ab + a - b - 1}{ab + a + b + 1} = \frac{3 + 2 - 1}{3 + 4 + 1} = \frac{1}{2}$；当$a - b = -2$时，$\frac{a - 1}{a + 1} = \frac{ab + a - b - 1}{ab + a + b + 1} = \frac{3 - 2 - 1}{3 + 4 + 1} = 0$，综上，$\frac{a - 1}{a + 1}$的值为$\frac{1}{2}$或0.
9. 已知分式 $\frac{2}{3x^{2} - 12}$ 和 $\frac{1}{x - 2}$。若 $m(m \neq \pm 1)$ 是这两个分式中分母的公因式，$n$ 是这两个分式的最简公分母，则当 $\frac{n}{m} = 8$ 时，$x$ 的值为 (
A
)
A.$\frac{2}{3}$
B.$1$
C.$-\frac{2}{3}$
D.$\frac{14}{3}$
答案：9.A 解析：由题意，得$m = x - 2 \neq \pm1$，$n = 3(x - 2)(x + 2)$，所以$x \neq 3$，$x \neq 1$，$\frac{n}{m} = \frac{3(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 3(x + 2)$，又$\frac{n}{m} = 8$，所以$3(x + 2) = 8$，解得$x = \frac{2}{3}$，则$x$的值为$\frac{2}{3}$。
10. 已知最简分式 $\frac{1}{A}$ 与 $-\frac{1}{4m^{2} - 9}$ 的最简公分母是 $3(4m^{2} - 9)$，则分母 $A =$
$3(2m - 3)$或$3(2m + 3)$或$3(2m - 3)(2m + 3)$
。
答案：10.$3(2m - 3)$或$3(2m + 3)$或$3(2m - 3)(2m + 3)$
解析：因为分式$\frac{1}{A}$与$\frac{1}{4m^2 - 9}$的最简公分母是$3(4m^2 - 9)$，且$3(4m^2 - 9) = 3(2m - 3) · (2m + 3)$，所以$A = 3(2m - 3)$或$3(2m + 3)$或$3(2m - 3)(2m + 3)$.
