9. (2025·江苏淮安模拟)若$m$为实数，分式$\frac{x(x+2)}{x^2+m}$不是最简分式，则$m$的值为(
C
)
A.$0$
B.$-4$
C.$0$或$-4$
D.$0$或$4$
答案：9.C
解析：
若分式$\frac{x(x+2)}{x^2+m}$不是最简分式，则分子与分母有公因式。
分子$x(x+2)$的因式为$x$和$x+2$。
情况1：当公因式为$x$时，分母$x^2+m$必含因式$x$，即$x=0$是$x^2+m=0$的根，代入得$0^2 + m = 0$，解得$m=0$。
情况2：当公因式为$x+2$时，分母$x^2+m$必含因式$x+2$，即$x=-2$是$x^2+m=0$的根，代入得$(-2)^2 + m = 0$，解得$m=-4$。
综上，$m=0$或$m=-4$。
C
10. 若$x+y=2$，$x-y=\frac{1}{2}$，则分式$\frac{2x^2-2y^2}{x^2+2xy+y^2}$的值是
$\frac{1}{2}$
.
答案：10.$\frac{1}{2}$
解析：
$\frac{2x^2 - 2y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{2(x^2 - y^2)}{(x + y)^2} = \frac{2(x + y)(x - y)}{(x + y)^2} = \frac{2(x - y)}{x + y}$，
当$x + y = 2$，$x - y = \frac{1}{2}$时，原式$= \frac{2×\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2}$。
11. 新素养
几何直观 已知$a$，$b$两数在数轴上的位置如图所示，则化简$\left|\frac{b^2-a+a^2+b-2ab}{a-b}\right|$的结果是
$-a + b + 1$
.
答案：11.$-a + b + 1$
12. （1）（2025·北京）已知$a+b-3=0$，求代数式$\frac{4(a-b)+8b}{a^2+2ab+b^2}$的值；
（2）已知$2x+3y-5z=0$，$3x-2y+12z=0(z≠0)$，求分式$\frac{2xy+5y^2}{4x^2+20xy+25y^2}$的值.
答案：12.(1)原式=$\frac{4a-4b + 8b}{(a + b)^{2}}=\frac{4(a + b)}{(a + b)^{2}}=\frac{4}{a + b}$.因为$a + b-3 = 0$,所以$a + b = 3$.所以原式=$\frac{4}{3}$.
(2)原式=$\frac{y(2x + 5y)}{(2x + 5y)^{2}}=\frac{y}{2x + 5y}$.由题意,得$\begin{cases}2x + 3y = 5z,\\3x-2y = -12z,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -2z,\\y = 3z.\end{cases}$所以原式=$\frac{3z}{2×(-2z)+5×3z}=\frac{3}{11}$.
13. 新趋势 开放探究 已知三张卡片上分别写有$4x^2-y^2$，$2xy+y^2$，$4x^2+4xy+y^2$，从中任选两张卡片组成一个分式，并将这个分式化简，再求当$x=3$，$y=5$时该分式的值.
答案：13.答案不唯一，如：$\frac{4x^{2}-y^{2}}{4x^{2}+4xy + y^{2}}=\frac{(2x + y)(2x-y)}{(2x + y)^{2}}=\frac{2x-y}{2x + y}$.当$x = 3,y = 5$时,原式=$\frac{2×3-5}{2×3 + 5}=\frac{1}{11}$.
14. 如图，一个大矩形被两条线段$AB$，$CD$分成四个小矩形.如果其中矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么图中阴影部分的面积为(
C
)
A.$\frac{9}{2}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{15}{8}$
答案：14.C 解析：设矩形I的长为$x$,宽为$y$,大矩形的长为$a$,宽为$b$,则矩形II的长为$(a - x)$,宽为$y$,矩形III的长为$(a - x)$,宽为$(b - y)$.设题图中阴影部分所在矩形的长为$x$,宽为$(b - y)$.设题图中阴影部分所在矩形的面积为$z$.所以$\frac{S_{1}}{S_{Ⅱ}}=\frac{xy}{(a - x)y}=\frac{x}{a - x}$,$S_{Ⅲ}=\frac{z}{(a - x)(b - y)}=\frac{x}{a - x}$,即$\frac{S_{1}}{S_{Ⅱ}}=\frac{z}{S_{Ⅲ}}$.又矩形I,II,III的面积分别为$8,6,5$,所以$\frac{8}{6}=\frac{z}{5}$,解得$z=\frac{20}{3}$.所以$S_{阴影}=\frac{1}{2}z=\frac{10}{3}$.
15. 亮点原创·若$a$，$b$，$c$是正数，且满足$a+b+c=10$，$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{43}{90}$，则$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$的值为
$1\frac{7}{9}$
.
答案：15.$1\frac{7}{9}$解析：因为$a + b + c = 10$,所以$a = 10-(b + c),b = 10-(a + c),c = 10-(a + b)$.所以原式=$\frac{10-(b + c)}{b + c}+\frac{10-(a + c)}{c + a}+\frac{10-(a + b)}{a + b}=10·(\frac{10}{b + c}-1+\frac{10}{c + a}-1+\frac{10}{a + b}-1)=10·(\frac{1}{b + c}+\frac{1}{c + a}+\frac{1}{a + b}-3)$.因为$\frac{1}{a + b}+\frac{1}{b + c}+\frac{1}{c + a}=\frac{43}{90}$,所以原式=$10×\frac{43}{90}-3=1\frac{7}{9}$.
解析：
因为$a + b + c = 10$，所以$a = 10-(b + c)$，$b = 10-(a + c)$，$c = 10-(a + b)$。
$\begin{aligned}\frac{a}{b + c}+\frac{b}{c + a}+\frac{c}{a + b}&=\frac{10-(b + c)}{b + c}+\frac{10-(a + c)}{c + a}+\frac{10-(a + b)}{a + b}\\&=\frac{10}{b + c}-1+\frac{10}{c + a}-1+\frac{10}{a + b}-1\\&=10(\frac{1}{b + c}+\frac{1}{c + a}+\frac{1}{a + b})-3\end{aligned}$
因为$\frac{1}{a + b}+\frac{1}{b + c}+\frac{1}{c + a}=\frac{43}{90}$，所以
$\begin{aligned}原式&=10×\frac{43}{90}-3\\&=\frac{43}{9}-3\\&=\frac{43}{9}-\frac{27}{9}\\&=\frac{16}{9}\\&=1\frac{7}{9}\end{aligned}$
$1\frac{7}{9}$
16. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
(1)有下列分式：①$\frac{x-1}{x^2+1}$；②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$；③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$；④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$.其中是“和谐分式”的是
②
(填序号)；
(2)若$a$为正整数，且$\frac{x-2}{x^2+ax+9}$为“和谐分式”，请求出$a$的值.
答案：16.(1)②
(2)由题意,得$x^{2}+ax + 9$可以因式分解，$\frac{x - 2}{x^{2}+ax + 9}$不能约分.可设$x^{2}+ax + 9=(x + m)(x + n)$,其中$m,n$都为整数.因为$(x + m)(x + n)=x^{2}+(m + n)x + mn$,所以$m + n = a,mn = 9$.又$a$为正整数,所以$m,n$为正整数.又$9 = 3×3 = 1×9$,所以$m + n = 6$或$10$,即$a$的值为$6$或$10$.
