8. 新素养
运算能力 (2025·江苏南京模拟)要使分式$\frac{y^{2}}{x}$的值扩大到原来的$4$倍，$x,y$的取值变化可以为(
B
)
A.$x,y$的值都扩大到原来的$2$倍
B.$x,y$的值都扩大到原来的$4$倍
C.$x$的值不变，$y$的值扩大到原来的$4$倍
D.$y$的值不变，$x$的值扩大到原来的$4$倍
答案：8.B
解析：
A. 当$x,y$的值都扩大到原来的$2$倍时，新分式为$\frac{(2y)^{2}}{2x}=\frac{4y^{2}}{2x}=\frac{2y^{2}}{x}$，是原来的$2$倍，不符合。
B. 当$x,y$的值都扩大到原来的$4$倍时，新分式为$\frac{(4y)^{2}}{4x}=\frac{16y^{2}}{4x}=\frac{4y^{2}}{x}$，是原来的$4$倍，符合。
C. 当$x$的值不变，$y$的值扩大到原来的$4$倍时，新分式为$\frac{(4y)^{2}}{x}=\frac{16y^{2}}{x}$，是原来的$16$倍，不符合。
D. 当$y$的值不变，$x$的值扩大到原来的$4$倍时，新分式为$\frac{y^{2}}{4x}$，是原来的$\frac{1}{4}$倍，不符合。
结论：B
9. (2024·四川雅安)已知$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1(a+b\neq0)$，则$\frac{a+ab}{a+b}$的值为(
C
)
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案：9.C
解析：
由$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$，通分得$\frac{2b + a}{ab} = 1$，即$a + 2b = ab$，移项得$ab - a = 2b$，$a(b - 1) = 2b$，$a = \frac{2b}{b - 1}$。
将$a = \frac{2b}{b - 1}$代入$\frac{a + ab}{a + b}$：
$\begin{aligned}\frac{\frac{2b}{b - 1} + \frac{2b}{b - 1} · b}{\frac{2b}{b - 1} + b}&=\frac{\frac{2b + 2b^2}{b - 1}}{\frac{2b + b(b - 1)}{b - 1}}\\&=\frac{2b + 2b^2}{2b + b^2 - b}\\&=\frac{2b(b + 1)}{b(b + 1)}\\&=2\end{aligned}$
答案：C
10. (2025·四川南充)已知$\frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}=2$，则$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}$的值是(
D
)
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
答案：10.D
解析：
由$\frac{a}{bc}=2$，得$a = 2bc$；由$\frac{b}{ac}=2$，得$b = 2ac$；由$\frac{c}{ab}=2$，得$c = 2ab$。
将$a = 2bc$代入$b = 2ac$，得$b = 2(2bc)c = 4bc^2$，两边同除以$b$（$b \neq 0$），得$1 = 4c^2$，$c^2=\frac{1}{4}$，同理可得$a^2=\frac{1}{4}$，$b^2=\frac{1}{4}$。
由$\frac{a}{bc}=2$，得$abc=\frac{a^2}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}$。
$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}{\frac{1}{8}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}=6$。
D
11. 使分式$\frac{|x+2|}{x^{2}-4}=\frac{1}{2-x}$自左向右变形成立的条件是
$x ＜ -2$
。
答案：11.$x ＜ -2$
解析：
要使分式$\frac{|x + 2|}{x^2 - 4} = \frac{1}{2 - x}$成立，先对分母因式分解：$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$，则原等式可化为$\frac{|x + 2|}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{1}{2 - x}$。
等式右边$\frac{1}{2 - x}=-\frac{1}{x - 2}$，所以原等式等价于$\frac{|x + 2|}{(x + 2)(x - 2)}=-\frac{1}{x - 2}$。
因为分母不能为$0$，所以$x^2 - 4\neq0$，即$x\neq\pm2$；且$2 - x\neq0$，即$x\neq2$，综上$x\neq\pm2$。
等式两边同乘$(x - 2)$（此时$x - 2\neq0$），得到$\frac{|x + 2|}{x + 2}=-1$。
$\frac{|x + 2|}{x + 2}=-1$成立的条件是$|x + 2|=-(x + 2)$且$x + 2\neq0$，即$x + 2\lt0$，解得$x\lt - 2$。
综上，使分式变形成立的条件是$x\lt - 2$。
$x\lt - 2$
12. (2025·江苏苏州期末)已知$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=2$，则$\frac{3m-4mn-3n}{\frac{5}{2}m+mn-\frac{5}{2}n}$的值为
$\frac{5}{2}$
。
答案：12.$\frac{5}{2}$
解析：
解：由$\frac{1}{m} - \frac{1}{n} = 2$，得$\frac{n - m}{mn} = 2$，即$n - m = 2mn$，所以$m - n = -2mn$。
分子$3m - 4mn - 3n = 3(m - n) - 4mn = 3(-2mn) - 4mn = -6mn - 4mn = -10mn$。
分母$\frac{5}{2}m + mn - \frac{5}{2}n = \frac{5}{2}(m - n) + mn = \frac{5}{2}(-2mn) + mn = -5mn + mn = -4mn$。
则原式$=\frac{-10mn}{-4mn} = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
13. (2025·江苏南京期末)若$x^{2}-3x-1=0$，求下列各式的值。
(1) $\frac{x^{4}+1}{x^{2}}$；
(2) $\frac{2x^{2}}{x^{4}-3x^{2}+1}$。
答案：13.(1)因为$x^{2} - 3x - 1 = 0$，所以$x^{2} - 1 = 3x$，$x \neq 0$，
即$(x^{2} - 1)^{2} = 9x^{2}$，所以$x^{4} + 1 = 11x^{2}$，则$\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = \frac{11x^{2}}{x^{2}} = 11$。
(2)由(1)，得$x \neq 0$，$x^{4} + 1 = 11x^{2}$，所以$\frac{2x^{2}}{x^{4} - 3x^{2} + 1} = \frac{2x^{2}}{11x^{2} - 3x^{2}} = \frac{1}{4}$
14. 已知$\frac{
x+
z}{
y}=\frac{y+z}{x}=\frac{x+y}{z}(x+y+z\neq0)$，则$\frac{x+y-z}{x+y+z}=$
$\frac{1}{3}$
。
答案：14.$\frac{1}{3}$ 解析：设$\frac{x + z}{y} = \frac{y + z}{x} = \frac{x + y}{z} = k(k \neq 0)$，则
$x + z = ky$，$y + z = kx$，$x + y = kz$。所以$x + z + y + z + x + y = k(x + y + z)$，即$(k - 2)(x + y + z) = 0$。又$x + y + z \neq 0$，所以$k - 2 = 0$，解得$k = 2$。所以$x + y = 2z$。又$z \neq 0$，所以$\frac{x + y - z}{x + y + z} = \frac{2z - z}{2z + z} = \frac{1}{3}$
15. 新趋势
情境素材 请仔细阅读下面的材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：$\frac{x-1}{x+1},\frac{x^{2}}{x-1}$；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：$\frac{1}{x+1},\frac{2x+1}{x^{2}-1}$。我们知道，假分数可以化为带分数，例如：$\frac{13}{5}=\frac{10+3}{5}=
2+\frac{3}{5}=2\frac{3}{5}$，类似的，假分式也可以化为“带分式”(整式与真分式和的形式)，例如：$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$。
(1) 将分式$\frac{2x+1}{x-1}$化为带分式；
(2) 当$x$取哪些整数值时，分式$\frac{2x+1}{x-1}$的值也是整数？
(3) 当$x$的值变化时，分式$\frac{2x^{2}+7}{x^{2}+2}$的最大值为
$\frac{7}{2}$
。
答案：15.(1)$\frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$
(2)由(1)，得$\frac{2x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$，且$\frac{2x + 1}{x - 1}$的值是
整数，所以$\frac{3}{x - 1}$的值必是整数。又$x$为整数，所以
$x - 1 = \pm 1$或$x - 1 = \pm 3$，解得$x = 0$或$x = 2$或$x = -2$或$x = 4$。所以当$x = 0$或$2$或$-2$或$4$时，
分式$\frac{2x + 1}{x - 1}$的值是整数。
(3)$\frac{7}{2}$ 解析：$\frac{2x^{2} + 7}{x^{2} + 2} = \frac{2(x^{2} + 2) + 3}{x^{2} + 2} = 2 + \frac{3}{x^{2} + 2}$。当$x^{2} = 0$时，$x^{2} + 2$取最小值，则$2 + \frac{3}{x^{2} + 2}$取最大值。所以当$x^{2} = 0$时，$\frac{2x^{2} + 7}{x^{2} + 2}$取最大
值，且最大值为$\frac{7}{2}$。
