1. 在代数式$\frac{x}{5},\frac{1}{\pi},\frac{2}{x^{2}+4},x^{2}-\frac{2}{3},\frac{1}{x},\frac{x + 1}{x + 2}$中，属于分式的有(
B
)
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
答案：1.B
解析：
分式是形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，$B$中含有字母且$B\neq0$）的式子。
$\frac{x}{5}$：分母为常数，不是分式。
$\frac{1}{\pi}$：$\pi$是常数，分母不含字母，不是分式。
$\frac{2}{x^{2}+4}$：分母含字母$x$，是分式。
$x^{2}-\frac{2}{3}$：是整式，不是分式。
$\frac{1}{x}$：分母含字母$x$，是分式。
$\frac{x + 1}{x + 2}$：分母含字母$x$，是分式。
属于分式的有3个，答案选B。
2. (2025·江苏常州)要使分式$\frac{5}{x + 1}$有意义，则$x$的取值范围是(
A
)
A.$x\neq - 1$
B.$x = - 1$
C.$x\geqslant - 1$
D.$x\gt - 1$
答案：2.A
解析：
要使分式$\frac{5}{x + 1}$有意义，则分母不能为$0$，即$x + 1 \neq 0$，解得$x \neq -1$。
A
3. (教材 P124 练习 2 变式)当$x = \frac{1}{2}$时，分式$\frac{5x}{3x^{2}-2}$的值是
-2
。
答案：3.-2
解析：
当$x = \frac{1}{2}$时，
$\begin{aligned}\frac{5x}{3x^{2}-2}&=\frac{5×\frac{1}{2}}{3×(\frac{1}{2})^{2}-2}\\&=\frac{\frac{5}{2}}{3×\frac{1}{4}-2}\\&=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{4}-2}\\&=\frac{\frac{5}{2}}{-\frac{5}{4}}\\&=\frac{5}{2}×(-\frac{4}{5})\\&=-2\end{aligned}$
-2
4. 苏州市在智慧城市建设方面一直走在全国前列，尤其在智慧交通方面。王先生的家到单位的路程为$18km$，原来上班的平均速度为$xkm/h$，实行“智慧改造”后，平均速度提升了$akm/h$，则王先生上班比原来节省了
($\frac{18}{x}-\frac{18}{x+a}$)
h。
答案：$4.(\frac{18}{x}-\frac{18}{x+a})$
5. 已知当$x = - 4$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}$无意义；当$x = 2$时，此分式的值为$0$。求分式$\frac{a + b}{a - 3b}$的值。
答案：5.由题意，得当x=-4时，2x+a=0；当x=2时，x-b=0，所以2×(-4)+a=0,2-b=0，解得a=8,b=2.则原式$=\frac{8+2}{8-3×2}=5.$
解析：
当$x = - 4$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}$无意义，所以$2x + a = 0$，即$2×(-4)+a=0$，解得$a = 8$。
当$x = 2$时，分式的值为$0$，所以$x - b = 0$，即$2 - b = 0$，解得$b = 2$。
则$\frac{a + b}{a - 3b}=\frac{8 + 2}{8 - 3×2}=\frac{10}{2}=5$。
$5$
6. 新素养
抽象能力 已知分式$\frac{a(b - c)+b(c - b)}{a - c}$有意义且值为$0$($a,b,c$均为正实数)。若三条线段的长分别为$a,b,c$，且这三条线段能构造三角形，则构造的三角形一定是(
A
)
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案：6.A
解析：
因为分式$\frac{a(b - c)+b(c - b)}{a - c}$的值为$0$，所以分子$a(b - c)+b(c - b)=0$，且分母$a - c\neq0$。
分子化简：$a(b - c)+b(c - b)=(b - c)(a - b)=0$，则$b - c=0$或$a - b=0$，即$b = c$或$a = b$。
又因为分母$a - c\neq0$，所以$a\neq c$。
已知$a,b,c$为正实数，且能构成三角形，所以当$b = c$或$a = b$时，三条线段一定能构成等腰三角形。
A
7. (2025·江苏无锡模拟)若分式$\frac{\vert x\vert - 6}{x - 6}$的值为$0$，则$x$的值为
-6
。
答案：7.-6
易错警示
注意分式的分母不为0.
8. 已知$(m + n)^{2}=25$，$(m - n)^{2}=9$，则$\frac{mn}{m^{2}+n^{2}}$的值为
$\frac{4}{17}$
。
答案：$8.\frac{4}{17}$
解析：
解：由$(m + n)^2 = 25$，得$m^2 + 2mn + n^2 = 25$；由$(m - n)^2 = 9$，得$m^2 - 2mn + n^2 = 9$。
两式相加：$2(m^2 + n^2) = 34$，则$m^2 + n^2 = 17$。
两式相减：$4mn = 16$，则$mn = 4$。
所以$\frac{mn}{m^2 + n^2} = \frac{4}{17}$。
$\frac{4}{17}$
9. 新趋势
推导探究 已知一组按规律排列的式子：$-\frac{b}{a},\frac{b^{3}}{a^{2}},-\frac{b^{5}}{a^{3}}······$则其中第$6$个式子是
$\frac{b^{11}}{a^{6}}$
，第$n$个式子是
$(-1)^n·\frac{b^{2n-1}}{a^n}$
(用含$n$的代数式表示，$n$为正整数)。
答案：$9.\frac{b^{11}}{a^{6}} 10.(-1)^n·\frac{b^{2n-1}}{a^n}$
10. 若$a,b$为实数，且$\frac{(a - 2)^{2}+\vert b^{2}-16\vert}{b + 4}=0$，求$3a - b$的值。
答案：10.由题意，得$(a-2)^2+$|$b^2-16$|=0,b+4≠0，且$(a-2)^2≥0，$|$b^2-16$|≥0，所以$a-2=0,b^2-$
16=0,b≠-4.所以a=2,b=4.所以3a-b=
3×2-4=2.
11. 亮点原创 若$\frac{8}{2m + 6}$表示一个整数，则整数$m$可以取的值有(
B
)
A.$5$个
B.$6$个
C.$7$个
D.$8$个
答案：11.B 解析：由题意，得2m+6=±1 或 2m+6=±2 或 2m+6=±4 或 2m+6=±8.解得m=-2.5或-3.5或-2或-4或-1或-5或1或-7.又m为整数，所以m可以取的值有6个。
12. (2025·江苏淮安期末)已知分式的分子与分母的和为$2$，则这样的分式称为“倍和分式”。若分式$\frac{4x - 1}{x + 1}$是“倍和分式”，则该分式的值为
$\frac{3}{7}$
。
答案：$12.\frac{3}{7} $解析：由题意，得4x-1+x+1=2，解得$x=\frac{2}{5}.$则$4x-1=\frac{3}{5},x+1=\frac{7}{5}.$所以$\frac{4x-1}{x+1}=\frac{3}{7}.$
解析：
由题意，得$4x - 1 + x + 1 = 2$，解得$x = \frac{2}{5}$。
当$x = \frac{2}{5}$时，分子$4x - 1 = 4×\frac{2}{5} - 1 = \frac{8}{5} - \frac{5}{5} = \frac{3}{5}$，分母$x + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$。
所以该分式的值为$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{3}{7}$。
$\frac{3}{7}$
