1. 设二次三项式 $x^{2}+mx + 6$ 可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数 $m$ 的个数为(
C
)
A.$8$
B.$6$
C.$4$
D.$3$
答案：1. C
解析：
因为二次三项式$x^{2}+mx + 6$可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，设分解后的式子为$(x + a)(x + b)$，其中$a$、$b$为整数。
将$(x + a)(x + b)$展开得$x^{2}+(a + b)x + ab$，所以$ab=6$。
满足$ab = 6$的整数对$(a,b)$有：
$(1,6)$，此时$m=a + b=1 + 6=7$；
$(-1,-6)$，此时$m=-1 + (-6)=-7$；
$(2,3)$，此时$m=2 + 3=5$；
$(-2,-3)$，此时$m=-2 + (-3)=-5$。
所以满足条件的整数$m$为$\pm5$，$\pm7$，共$4$个。
C
2. (2025·江苏苏州模拟)若整数 $x$，$y$，$z$ 满足 $xy + yz + xz = 1$，则 $(1 + x^{2})(1 + y^{2})(1 + z^{2})$ 可能取到的值为(
A
)
A.$16900$
B.$17900$
C.$18900$
D.以上都不对
答案：2. A
解析：
因为$xy + yz + xz = 1$，所以$(1 + x^{2})(1 + y^{2})(1 + z^{2})$
$=1 + x^{2} + y^{2} + z^{2} + x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + x^{2}z^{2} + x^{2}y^{2}z^{2}$
$=(x^{2}y^{2}z^{2} + x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + x^{2}z^{2}) + (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 1$
$=x^{2}y^{2}(z^{2} + 1) + z^{2}(x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + 1$
$=x^{2}y^{2}(z^{2} + 1) + z^{2}[(x + y)^{2} - 2xy] + (x + y)^{2} - 2xy + z^{2} + 1$
$=x^{2}y^{2}(z^{2} + 1) + (z^{2} + 1)(x + y)^{2} - 2xy(z^{2} + 1) + 1$
$=(z^{2} + 1)(x^{2}y^{2} + (x + y)^{2} - 2xy) + 1$
$=(z^{2} + 1)(x^{2}y^{2} - 2xy + (x + y)^{2}) + 1$
$=(z^{2} + 1)( (xy - 1)^{2} + x^{2} + y^{2}) + 1$（此步推导复杂，可采用特殊值法）
令$z = 0$，则$xy = 1$，取$x = 1$，$y = 1$，则$(1 + 1^{2})(1 + 1^{2})(1 + 0^{2}) = 2×2×1 = 4$，不符合选项；
令$z = 1$，则$xy + y + x = 1$，即$(x + 1)(y + 1) = 2$，取$x + 1 = 1$，$y + 1 = 2$，得$x = 0$，$y = 1$，则$(1 + 0^{2})(1 + 1^{2})(1 + 1^{2}) = 1×2×2 = 4$；取$x + 1 = 2$，$y + 1 = 1$，得$x = 1$，$y = 0$，结果同上；取$x + 1 = -1$，$y + 1 = -2$，得$x = -2$，$y = -3$，则$(1 + (-2)^{2})(1 + (-3)^{2})(1 + 1^{2}) = 5×10×2 = 100$；
令$z = 2$，则$xy + 2y + 2x = 1$，即$(x + 2)(y + 2) = 5$，取$x + 2 = 1$，$y + 2 = 5$，得$x = -1$，$y = 3$，则$(1 + (-1)^{2})(1 + 3^{2})(1 + 2^{2}) = 2×10×5 = 100$；取$x + 2 = 5$，$y + 2 = 1$，得$x = 3$，$y = -1$，结果同上；取$x + 2 = -1$，$y + 2 = -5$，得$x = -3$，$y = -7$，则$(1 + (-3)^{2})(1 + (-7)^{2})(1 + 2^{2}) = 10×50×5 = 2500$；
令$z = 3$，则$xy + 3y + 3x = 1$，即$(x + 3)(y + 3) = 10$，取$x + 3 = 2$，$y + 3 = 5$，得$x = -1$，$y = 2$，则$(1 + (-1)^{2})(1 + 2^{2})(1 + 3^{2}) = 2×5×10 = 100$；取$x + 3 = 5$，$y + 3 = 2$，得$x = 2$，$y = -1$，结果同上；取$x + 3 = 10$，$y + 3 = 1$，得$x = 7$，$y = -2$，则$(1 + 7^{2})(1 + (-2)^{2})(1 + 3^{2}) = 50×5×10 = 2500$；取$x + 3 = -2$，$y + 3 = -5$，得$x = -5$，$y = -8$，则$(1 + (-5)^{2})(1 + (-8)^{2})(1 + 3^{2}) = 26×65×10 = 16900$。
所以$(1 + x^{2})(1 + y^{2})(1 + z^{2})$可能取到的值为$16900$。
A
3. 计算：$\frac{1^{2}-2^{2}}{2 + 4}+\frac{3^{2}-4^{2}}{6 + 8}+\frac{5^{2}-6^{2}}{10 + 12}+···+\frac{1011^{2}-1012^{2}}{2022 + 2024}+\frac{1013^{2}-1014^{2}}{2026 + 2028}=$
$-\frac{507}{2}$
。
答案：3. $-\frac{507}{2}$
解析：
观察原式，每个分式的分子为两个连续整数的平方差，分母为这两个整数的2倍之和。
对于第$n$项（$n$从1开始），分子为$(2n - 1)^2-(2n)^2$，分母为$2(2n - 1)+2(2n)$。
分子利用平方差公式：$(2n - 1)^2-(2n)^2=[(2n - 1)-2n][(2n - 1)+2n]=(-1)(4n - 1)=- (4n - 1)$。
分母：$2(2n - 1)+2(2n)=4n - 2 + 4n=8n - 2=2(4n - 1)$。
则第$n$项为$\frac{-(4n - 1)}{2(4n - 1)}=-\frac{1}{2}$。
确定项数：最后一项分子为$1013^2 - 1014^2$，此时$2n=1014$，解得$n = 507$，即共有507项。
所以原式$=507×(-\frac{1}{2})=-\frac{507}{2}$。
$-\frac{507}{2}$
4. 已知 $x + y = 1$，$x^{3}+y^{3}=4$，则 $x^{4}+y^{4}=$
7
。
答案：4. 7
解析：
解：因为 $x + y = 1$，所以 $(x + y)^2 = 1$，即 $x^2 + 2xy + y^2 = 1$。
又因为 $x^3 + y^3 = 4$，且 $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$，将 $x + y = 1$ 代入得：$1 × (x^2 - xy + y^2) = 4$，即 $x^2 - xy + y^2 = 4$。
由 $x^2 + 2xy + y^2 = 1$ 和 $x^2 - xy + y^2 = 4$ 相减，得 $3xy = -3$，所以 $xy = -1$。
将 $xy = -1$ 代入 $x^2 + 2xy + y^2 = 1$，得 $x^2 + y^2 = 1 - 2xy = 1 - 2×(-1) = 3$。
则 $x^4 + y^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = 3^2 - 2(xy)^2 = 9 - 2×(-1)^2 = 9 - 2 = 7$。
7
5. 已知正整数 $x$，$y$，$z$ 满足 $x + y + z = 2025$，$x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x = xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}$，则 $x$，$y$，$z$ 共有
3036
组解。
答案：5. 3036 解析：因为$x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x = xy^{2} + yz^{2} + zx^{2}$，所以$xy(x - y) - z(x^{2} - y^{2}) + z^{2}(x - y) = 0$，即$(x - y) · (xy - xz - yz + z^{2}) = 0$。所以$(x - y)(y - z)(x - z) = 0$，即$x - y = 0$或$y - z = 0$或$x - z = 0$。所以$x = y$或$y = z$或$x = z$。当$x = y$时，因为$x + y + z = 2025$，所以$2x + z = 2025$，即$z = 2025 - 2x$。又$x,y,z$都是正整数，所以$2025 - 2x ＞ 0$，$x,z$取正整数，即$x$可取的值为$1,2,···,1012$，共$1012$个；同理，当$y = z$时，$y$可取的值为$1,2,···,1012$，共$1012$个；当$x = z$时，$z$可取的值为$1,2,···,1012$，共$1012$个。综上，$x,y,z$共有$1012 × 3 = 3036$(组)解。
解析：
因为$x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x = xy^{2} + yz^{2} + zx^{2}$，移项得$x^{2}y - xy^{2} + y^{2}z - yz^{2} + z^{2}x - zx^{2} = 0$，即$xy(x - y) + yz(y - z) + zx(z - x) = 0$，进一步变形为$(x - y)(y - z)(x - z) = 0$，所以$x = y$或$y = z$或$x = z$。
当$x = y$时，由$x + y + z = 2025$得$2x + z = 2025$，即$z = 2025 - 2x$。因为$x$，$y$，$z$是正整数，所以$z ＞ 0$，即$2025 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 1012.5$，所以$x$可取$1, 2, ···, 1012$，共$1012$组解。
同理，当$y = z$时，$y$可取$1, 2, ···, 1012$，共$1012$组解；当$x = z$时，$x$可取$1, 2, ···, 1012$，共$1012$组解。
综上，$x$，$y$，$z$共有$1012×3 = 3036$组解。
3036
6. （2024·福建）已知实数 $a$，$b$，$c$，$m$，$n$ 满足 $3m + n = \frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$。
（1）求证：$b^{2}-12ac$ 为非负数；
（2）若 $a$，$b$，$c$ 均为奇数，$m$，$n$ 是否可以都为整数？说明理由。
答案：6. (1) 因为$3m + n = \frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$，所以$b = a(3m + n)$，$c = amn$。所以$b^{2} - 12ac = a^{2}(3m + n)^{2} - 12a^{2}mn = a^{2}(9m^{2} + 6mn + n^{2} - 12mn) = a^{2}(9m^{2} - 6mn + n^{2}) = a^{2}(3m - n)^{2}$。又$a^{2} \geq 0$，$(3m - n)^{2} \geq 0$，所以$b^{2} - 12ac \geq 0$，即$b^{2} - 12ac$为非负数。
(2) $m,n$不可能都为整数。理由如下：假设$m,n$都为整数，分类讨论如下：①当$m,n$都为奇数时，$3m + n$为偶数。因为$3m + n = \frac{b}{a}$，所以$b = a(3m + n)$，即$a(3m + n)$为偶数。又$a,b$为奇数，所以假设不成立；②当$m,n$都为偶数时，同理，得假设不成立；③当$m,n$为一奇一偶时，$mn$为偶数。因为$mn = \frac{c}{a}$，所以$c = amn$，即$amn$为偶数。又$a,c$为奇数，所以假设不成立。综上，假设不成立，即$m,n$不可能都为整数。
7. 新趋势
情境素材 【学习材料】在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项、添项法。
例 1：分解因式：$x^{4}+4y^{4}$。
解：原式 $=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy)$。
例 2：分解因式：$x^{3}+5x - 6$。
解：原式 $=x^{3}-x + 6x - 6 = x(x^{2}-1)+6(x - 1)=x(x + 1)(x - 1)+6(x - 1)=(x - 1)(x^{2}+x + 6)$。
例 3：把多项式 $a^{2}+b^{2}+4a - 6b + 13$ 写成 $A^{2}+B^{2}$ 的形式。
解：原式 $=a^{2}+4a + 4 + b^{2}-6b + 9=(a + 2)^{2}+(b - 3)^{2}$。
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：$x^{2}-2ax - b^{2}-2ab=$
$(x + b)(x - 2a - b)$
；
(2)分解因式：$x^{3}+2x^{2}-5x - 6=$
$(x + 1)(x - 2)(x + 3)$
；
(3)关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2}-20x + 111$ 在 $x=$
10
时，取最小值；
(4)已知 $M = x^{2}+6x + 4y^{2}-12y + m$($m$ 是常数)，若 $M$ 恰好能表示成 $A^{2}+B^{2}$ 的形式，求 $m$ 的值。
答案：7. (1)$(x + b)(x - 2a - b)$
(2)$(x + 1)(x - 2)(x + 3)$
(3)10
(4)因为$M = x^{2} + 6x + 4y^{2} - 12y + m = x^{2} + 6x + 9 + 4y^{2} - 12y + 9 + m - 18 = (x + 3)^{2} + (2y - 3)^{2} + m - 18$，且$M$恰能表示成$A^{2} + B^{2}$的形式，所以$m - 18 = 0$，解得$m = 18$。则$m$的值为18。
