1. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(
B
)
A.$ac + bc = bc + ac$
B.$x^{2}-4y^{2}=(x + 2y)(x - 2y)$
C.$m^{3}+2m^{2}-3=m^{2}(m + 2)-3$
D.$x^{2}+1=x(x+\frac{1}{x})$
答案：1.B
2. 下列从左到右的变形：① $x^{2}+3x + 1=x(x + 3+\frac{1}{x})$；② $(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$；③ $15x^{2}y = 3x·5xy$；④ $m^{2}-2m + 1=(m - 1)^{2}$。其中是因式分解的是
④
。(填序号)
答案：2. ④
3. 把多项式 $x^{2}y^{5}-xy^{n}$ 因式分解时，提取的公因式是 $xy^{n}$，则 $n$ 的值不可能为(
A
)
A.6
B.4
C.3
D.2
答案：3.A
解析：
要对多项式$x^{2}y^{5} - xy^{n}$提取公因式$xy^{n}$，需满足：
1. 对于$x$的次数：多项式各项中$x$的最低次数为$1$，公因式中$x$的次数为$1$，符合要求。
2. 对于$y$的次数：多项式各项中$y$的最低次数应等于公因式中$y$的次数$n$，即$n \leq 5$。
选项中$n = 6$时，$6 ＞ 5$，不满足条件。
A
4. 把多项式 $(x + 2y)^{2}-6x(x + 2y)$ 提取公因式 $x + 2y$ 后，另一个因式为
2y-5x
。
答案：4. 2y-5x
解析：
$(x + 2y)^{2}-6x(x + 2y)$
$=(x + 2y)[(x + 2y)-6x]$
$=(x + 2y)(x + 2y - 6x)$
$=(x + 2y)(2y - 5x)$
另一个因式为$2y - 5x$
5. 已知 $xy = 15$，且满足 $x^{2}y - xy^{2}-x + y = 28$。
（1）求 $x - y$ 的值；
（2）求 $x^{2}+y^{2}$ 和 $x + y$ 的值。
答案：5.(1)因为$x^{2}y-xy^{2}-x+y=28，$所以xy(x-y)-(x-y)=28，即(x-y)(xy-1)=28.又xy=15，所以14(x-y)=28，即x-y=2.
(2)由(1)，得x-y=2,所以$(x-y)^{2}=4，$即$x^{2}+y^{2}-2xy=4.$又xy=15，所以$x^{2}+y^{2}=34.$因为$x^{2}+y^{2}+2xy=(x+y)^{2}，$所以$(x+y)^{2}=64，$即x+y=±8.
6. 新素养
运算能力 已知 $x - y = 3$，$y - z = 2$，$x + z = 4$，则代数式 $x^{2}-z^{2}$ 的值是(
C
)
A.9
B.18
C.20
D.24
答案：6.C
解析：
由$x - y = 3$，$y - z = 2$，两式相加得$x - z = 5$。
因为$x^{2}-z^{2}=(x + z)(x - z)$，已知$x + z = 4$，$x - z = 5$，所以$x^{2}-z^{2}=4×5=20$。
C
7. 已知 $m - 2n = - 2$，则代数式 $\frac{m^{2}}{4}+n^{2}-mn - 3$ 的值为
-2
。
答案：7.-2
解析：
$\begin{aligned}\frac{m^{2}}{4}+n^{2}-mn&=(\frac{m}{2}-n)^{2}\\m - 2n&=-2\Rightarrow\frac{m}{2}-n=-1\\(\frac{m}{2}-n)^{2}&=(-1)^{2}=1\\\therefore\frac{m^{2}}{4}+n^{2}-mn - 3&=1 - 3=-2\end{aligned}$
-2
8. 若 $m$，$n$ 满足 $m^{2}+n^{2}+m^{2}n^{2}+8mn + 9 = 0$，则 $(m - n)^{2}$ 的值为
12
。
答案：8.12
解析：
解：$m^{2}+n^{2}+m^{2}n^{2}+8mn + 9 = 0$，
$m^{2}n^{2}+6mn + 9 + m^{2}+2mn + n^{2}=0$，
$(mn + 3)^{2}+(m + n)^{2}=0$，
$\because (mn + 3)^{2}\geq0$，$(m + n)^{2}\geq0$，
$\therefore mn + 3 = 0$，$m + n = 0$，
$\therefore mn=-3$，$m + n=0$，
$(m - n)^{2}=(m + n)^{2}-4mn=0^{2}-4×(-3)=12$。
12
9. 阅读下列材料：我们把多项式 $a^{2}+2ab + b^{2}$ 及 $a^{2}-2ab + b^{2}$ 叫作完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大(小)值等。
例如：分解因式：$x^{2}+2x - 3$。
原式 $=(x^{2}+2x + 1)-4=(x + 1)^{2}-4=(x + 1 + 2)(x + 1 - 2)=(x + 3)(x - 1)$。
再例如：求代数式 $2x^{2}+4x - 6$ 的最小值。
$2x^{2}+4x - 6 = 2(x^{2}+2x - 3)=2(x + 1)^{2}-8$。因为 $(x + 1)^{2}\geqslant0$，所以当 $x = - 1$ 时，$2x^{2}+4x - 6$ 取最小值，且最小值是 $-8$。
阅读材料，用配方法解答下列问题：
(1)分解因式：
① $m^{2}-4m - 5=$
(m+1)(m-5)
，
② $a^{2}+3a - 28=$
(a+7)(a-4)
；
(2)① 求多项式 $-x^{2}+6x - 16$ 的最大值，
② 若多项式 $M = a^{2}+2b^{2}-2a + 4b + 2029$，试求 $M$ 的最小值；
(3)① 若 $a = 2026$，$b = 2025$，$c = 2024$，求 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac$ 的值；
② 已知 $a$，$b$，$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，且满足 $a^{2}+b^{2}=10a + 8b - 41$，求第三边长 $c$ 的取值范围。
答案：9.(1)①(m+1)(m-5) ②(a+7)(a-4)
(2)①原式$=-x^{2}+6x-9-7=-(x-3)^{2}-7.$因为$-(x-3)^{2}≤0，$所以$-(x-3)^{2}-7≤-7，$即当x=3时，$-x^{2}+6x-16$取最大值，且最大值为-7.
②因为$M=a^{2}+2b^{2}-2a+4b+2029=a^{2}-2a+1+2b^{2}+4b+2+2026=(a-1)^{2}+2(b+1)^{2}+2026，$且$(a-1)^{2}≥0，$$(b+1)^{2}≥0，$所以M≥2026，即当a=1,b=-1时，M取最小值，且最小值为2026.
(3)①因为a=2026,b=2025,c=2024，所以a-b=1,a-c=2,b-c=1.则原式$=\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac)=\frac{1}{2}[(a^{2}-2ab+b^{2})+(a^{2}-2ac+c^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})]=\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}]=\frac{1}{2}×(1^{2}+2^{2}+1^{2})=3.$
②因为$a^{2}+b^{2}=10a+8b-41，$所以$a^{2}-10a+25+b^{2}-8b+16=0，$即$(a-5)^{2}+(b-4)^{2}=0.$所以a-5=0,b-4=0，解得a=5,b=4.又a,b,c是△ABC的三边长，所以$a-b\lt c\lt a+b，$即c的取值范围为$1\lt c\lt9.$
