11. 已知$a = 198$，$b = 199$，则$a^{2}+b^{2}-2ab + 2025b - 2025a$的值为
2026
.
答案：11.2026
解析：
$a^{2}+b^{2}-2ab + 2025b - 2025a$
$=(a - b)^{2} + 2025(b - a)$
$=(a - b)^{2} - 2025(a - b)$
$=(a - b)(a - b - 2025)$
当$a = 198$，$b = 199$时，$a - b=198 - 199=-1$
原式$=(-1)×(-1 - 2025)$
$=(-1)×(-2026)$
$=2026$
2026
12. 新素养应用意识若$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，试判断代数式$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$的值是正数还是负数.
答案：12.因为a,b,c是△ABC的三边长，所以$a+b+c\gt 0,a+b\gt c,a+c\gt b,b+c\gt a，$即$a+b-c\gt0,a-b+c\gt0,a-b-c\lt0.$所以$(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)=[(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)\lt0，$即$(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2$的值是负数.
解析：
$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}-c^{2}-2ab)$
$=[(a+b)^{2}-c^{2}][(a-b)^{2}-c^{2}]$
$=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$
因为$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，所以$a+b+c\gt0$，$a+b\gt c$，$a+c\gt b$，$b+c\gt a$，即$a+b-c\gt0$，$a-b+c\gt0$，$a-b-c\lt0$。
所以$(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)\lt0$，即$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$的值是负数。
13. 题目：“分解因式：$x^{2}-120x + 3456$.”
分析：由于常数项数值较大，则常采用将$x^{2}-120x$变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行.
解：$x^{2}-120x + 3456$
$=x^{2}-2×60x + 60^{2}-60^{2}+3456$
$=(x - 60)^{2}-144$
$=(x - 60)^{2}-12^{2}$
$=(x - 60 + 12)(x - 60 - 12)$
$=(x - 48)(x - 72)$.
通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：
(1) $x^{2}-140x + 4875$；
(2) $4x^{2}-4x - 575$.
答案：13.(1)原式$=x^2-140x+70^2-70^2+4875=(x-70)^2-5^2=(x-70+5)(x-70-5)=(x-65)(x-75).$
(2)原式$=4x^2-4x+1-1-575=(2x-1)^2-24^2=(2x-1+24)(2x-1-24)=(2x+23)(2x-25).$
14. 阅读材料，解答问题：
对于多项式$x^{2}+x - 2$，如果我们把$x = 1$代入此多项式，那么会发现$x^{2}+x - 2$的值为0，这时可以确定多项式中有因式$x - 1$.同理，可以确定多项式中有另一个因式$x + 2$.于是我们可以得到$x^{2}+x - 2=(x - 1)(x + 2)$.
对于多项式$2x^{2}-3x - 2$，发现当$x = 2$时，$2x^{2}-3x - 2$的值为0，则多项式$2x^{2}-3x - 2$中有因式$x - 2$.我们可以设$2x^{2}-3x - 2=(x - 2)(mx + n)$，解得$m = 2$，$n = 1$.于是我们可以得到$2x^{2}-3x - 2=(x - 2)(2x + 1)$.
(1) 当$x =$
1(或$-\frac{5}{6})$
时，多项式$6x^{2}-x - 5$的值为0，因此多项式$6x^{2}-x - 5$中有因式
x-1(或6x+5)
，从而分解因式$6x^{2}-x - 5=$
(x-1)(6x+5)
；
(2) 以上这种分解因式的方法叫作试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解下列多项式：
① $2x^{2}+5x + 3$，
② $x^{3}-7x + 6$；
(3) 小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想：代数式$(x - 2)^{3}-(y - 2)^{3}-(x - y)^{3}$中有因式
x-2
，
y-2
，
x-y
，所以分解因式$(x - 2)^{3}-(y - 2)^{3}-(x - y)^{3}=$
3(x-2)(y-2)(x-y)
.
答案：14.(1)1(或$-\frac{5}{6}) x-1($或6x+5) (x-1)(6x+5) 解析：当x=1时，$6x^2-x-5=0.$设$6x^2-x-5=(x-1)(mx+n)，$解得m=6,n=5.所以分解因式$6x^2-x-5=(x-1)(6x+5).$
(2)①对于多项式$2x^2+5x+3，$当x=-1时，$2x^2+5x+3$的值为0，则多项式$2x^2+5x+3$中有因式x+1.设$2x^2+5x+3=(mx+n)(x+1)，$则$2x^2+5x+3=mx^2+(m+n)x+n，$即m=2,n=3.所以$2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3).$
②对于多项式$x^3-7x+6，$当x=1时，$x^3-7x+6$的值为0，则多项式$x^3-7x+6$中有因式x-1.设$x^3-7x+6=(x-1)(ax^2+bx+c)，$则$x^3-7x+6=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c.$所以a=1,b-a=0,c-b=-7,-c=6，即b=1,c=-6.所以$x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6).$同理，得$x^2+x-6=(x-2)(x+3).$所以$x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3).$
(3)x-2 y-2 x-y 3(x-2)(y-2)(x-y) 解析：当x=2时，$(x-2)^3-(y-2)^3-(x-y)^3=0；$当y=2时，$(x-2)^3-(y-2)^3-(x-y)^3=0；$当x=y时，$(x-2)^3-(y-2)^3-(x-y)^3=0.$所以$(x-2)^3-(y-2)^3-(x-y)^3$的因式有x-2,y-2,x-y.因为$(x-2)^3-(y-2)^3-(x-y)^3=x^3-6x^2+12x-8-(y^3-6y^2+12y-8)-(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)=-6x^2+12x+6y^2-12y+3x^2y-3xy^2，$所以设$(x-2)^3-(y-2)^3-(x-y)^3=k(x-2)(y-2)(x-y)，$即$-2kx^2+4kx+2ky^2-4ky+kx^2y-ky^2=-6x^2+12x+6y^2-12y+3x^2y-3xy^2.$所以k=3，即$(x-2)^3-(y-2)^3-(x-y)^3=3(x-2)(y-2)(x-y).$
