1. (2025·江苏无锡)分解因式$a^{3}-4a$结果是(
C
)
A.$a(a^{2}+4)$
B.$a(a - 4)$
C.$a(a + 2)(a - 2)$
D.$a(a^{2}-1)$
答案：1.C
解析：
$a^{3}-4a=a(a^{2}-4)=a(a+2)(a-2)$，答案选C。
2. 若$k + 2025^{2}-1 = 2026^{2}$，则$k$的值为(
D
)
A.2025
B.2026
C.4050
D.4052
答案：2.D
解析：
由题意得：$k = 2026^{2} - 2025^{2} + 1$
$2026^{2} - 2025^{2}=(2026 - 2025)(2026 + 2025)=1×4051 = 4051$
$k=4051 + 1=4052$
答案：D
3. 分解因式：
(1) (2025·北京)$7m^{2}-28=$
7(m+2)(m-2)
；
(2) (2025·黑龙江绥化)$2mx^{2}-4mxy + 2my^{2}=$
$2m(x-y)^2$
.
答案：$3.(1)7(m+2)(m-2) (2)2m(x-y)^2$
4. 已知$x$，$y$互为相反数，且$x^{2}+6x - y^{2}-6y = 24$，则$x - y=$
4
.
答案：4.4
解析：
因为$x$，$y$互为相反数，所以$x + y = 0$。
$x^{2} + 6x - y^{2} - 6y$
$=(x^{2} - y^{2}) + 6(x - y)$
$=(x + y)(x - y) + 6(x - y)$
将$x + y = 0$代入上式，得：
$0 × (x - y) + 6(x - y) = 6(x - y)$
已知$x^{2} + 6x - y^{2} - 6y = 24$，所以$6(x - y) = 24$，解得$x - y = 4$。
4
5. 已知一个矩形的长和宽分别是$a$，$b$，且它的周长为12，面积为8，则$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为
288
.
答案：5.288
解析：
由题意得，$2(a + b) = 12$，$ab = 8$，则$a + b = 6$。
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3} = ab(a^{2} + 2ab + b^{2}) = ab(a + b)^{2}$
将$a + b = 6$，$ab = 8$代入，得$8×6^{2} = 8×36 = 288$。
288
6. (教材P114练习2变式)把下列各式分解因式：
(1) $4xy^{2}-4x^{2}y - y^{3}$；
(2) $m^{3}(a - 2)+m(2 - a)$；
(3) $a^{2}(a - b)+2ab(b - a)+b^{2}(a - b)$；
(4) $(a^{2}+a)^{2}-(a + 1)^{2}$.
答案：6.(1)原式$=-y(2x-y)^2.$
(2)原式=m(a-2)(m+1)(m-1).
(3)原式$=(a-b)(a-b)^2=(a-b)^3.$
(4)原式$=(a^2+a+a+1)(a^2+a-a-1)=(a+1)^2(a+1)(a-1)=(a+1)^3(a-1).$
7. 新素养
创新意识如果$x - y$，$x + y$，$x^{2}-y^{2}$，4，$m + n$，$mn$分别对应6个字：学，数，小，我，爱，明，那么将$4m(x^{2}-y^{2})+4n(x^{2}-y^{2})$因式分解，结果呈现的可能是(
D
)
A.我数学
B.爱数学
C.小明数学
D.我爱数学
答案：7.D
解析：
$4m(x^{2}-y^{2})+4n(x^{2}-y^{2})$
$=(x^{2}-y^{2})(4m + 4n)$
$=(x^{2}-y^{2})×4(m + n)$
已知$x - y$，$x + y$，$x^{2}-y^{2}$，4，$m + n$，$mn$分别对应“学”“数”“小”“我”“爱”“明”，所以$x^{2}-y^{2}$对应“小”，4对应“我”，$m + n$对应“爱”，则$(x^{2}-y^{2})×4(m + n)$对应“我爱数学”。
D
8. 已知实数$a$，$b$，$c$满足$a^{2}-b^{2}＜0$，$a + b - 2c = 0$，则下列结论正确的是(
D
)
A.$c＜0$，$a＜b$
B.$c＞0$，$a＞b$
C.$c^{2}＜ab$
D.$c^{2}＞ab$
答案：8.D
易错警示
正确运用公式法进行因式分解是解题的关键.
9. 亮点原创已知$m^{2}(n + p)=n^{2}(m + p)=2026$，且$m$，$n$，$p$互不相等，则$p^{2}(m + n)-2025$的值为(
B
)
A.0
B.1
C.2025
D.2026
答案：9.B
解析：
由题意得：$m^{2}(n + p) = n^{2}(m + p) = 2026$，$m \neq n$。
$m^{2}(n + p) - n^{2}(m + p) = 0$
$m^{2}n + m^{2}p - n^{2}m - n^{2}p = 0$
$mn(m - n) + p(m^{2} - n^{2}) = 0$
$mn(m - n) + p(m - n)(m + n) = 0$
$(m - n)(mn + p(m + n)) = 0$
因为$m \neq n$，所以$mn + p(m + n) = 0$，即$p(m + n) = -mn$。
$p^{2}(m + n) = p · p(m + n) = p(-mn) = -mnp$。
由$m^{2}(n + p) = 2026$得$m^{2}n + m^{2}p = 2026$，即$mn · m + p · m^{2} = 2026$，将$p = -\frac{mn}{m + n}$代入：
$mn · m + (-\frac{mn}{m + n}) · m^{2} = 2026$
$m^{2}n - \frac{m^{3}n}{m + n} = 2026$
$\frac{m^{2}n(m + n) - m^{3}n}{m + n} = 2026$
$\frac{m^{3}n + m^{2}n^{2} - m^{3}n}{m + n} = 2026$
$\frac{m^{2}n^{2}}{m + n} = 2026$，即$\frac{(mn)^{2}}{m + n} = 2026$。
又$p(m + n) = -mn$，则$m + n = -\frac{mn}{p}$，代入上式：
$\frac{(mn)^{2}}{-\frac{mn}{p}} = 2026$，即$-mn · p = 2026$，所以$-mnp = 2026$，即$p^{2}(m + n) = 2026$。
$p^{2}(m + n) - 2025 = 2026 - 2025 = 1$
答案：B
10. 若$a^{2}+2ab + b^{2}-c^{2}=10$，$a + b + c = 5$，则$a + b - c$的值是
2
.
答案：10.2
解析：
解：因为$a^{2}+2ab + b^{2}-c^{2}=10$，所以$(a + b)^{2}-c^{2}=10$，即$(a + b + c)(a + b - c)=10$。又因为$a + b + c = 5$，所以$5(a + b - c)=10$，则$a + b - c = 2$。
