12. 已知 $ a $ 是一个正整数，且 $ a $ 除以 3 余 1。判断 $ a^{2}+4a + 4 $ 是否一定能被 9 整除，并说明理由。
答案：12. 是. 理由如下：由题意，设 a = 3k + 1（k 为自然数）. 因为$ a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 = (3k + 1 + 2)^2 = 9(k + 1)^2, k + 1 $为正整数，所以$ 9(k + 1)^2 $能被 9 整除，即$ a^2 + 4a + 4 $一定能被 9 整除.
13. 阅读下面的材料：
分解因式：$ (a - b)^{2}-2(a - b)+1 $。
解：设 $ a - b = M $，则原式 $ = M^{2}-2M + 1 = (M - 1)^{2} $。
再将 $ a - b = M $ 还原，得原式 $ = (a - b - 1)^{2} $。
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想。
请你用“整体思想”解答下列问题：
（1）分解因式：$ (x + y)(x + y - 4)+4 $；
（2）若 $ a $ 为正整数，则 $ (a - 1)(a - 2)(a - 3)(a - 4)+1 $ 是不是某个整数的平方？请说明理由。
答案：13. (1) 令 x + y = m，则原式$ = m(m - 4) + 4 = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2. $将 x + y = m 还原，得原式$ = (x + y - 2)^2.$
(2) 是. 理由如下：原式$ = (a - 1)(a - 4)(a - 2)(a - 3) + 1 = (a^2 - 5a + 4)(a^2 - 5a + 6) + 1. $令$ a^2 - 5a = n，$则原式$ = (n + 4)(n + 6) + 1 = n^2 + 10n + 25 = (n + 5)^2. $将$ a^2 - 5a = n $还原，得原式$ = (a^2 - 5a + 5)^2. $又 a 为正整数，所以$ a^2 - 5a + 5 $是整数. 所以 (a - 1)(a - 2)(a - 3)(a - 4) + 1 是某个整数的平方.
14. 若 $ a ＞ 0 $，且 $ a-\frac{1}{a}=1 $，则 $ a^{2}-\frac{1}{a^{2}} $ 的值为
$\sqrt{5}$
。
答案：$14. \sqrt{5} $解析：因为$ a - \frac{1}{a} = 1，$所以$ (a - \frac{1}{a})^2 = 1，$即$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 3. $所以$ a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 5，$即$ (a + \frac{1}{a})^2 = 5. $又 a ＞ 0，所以$ a + \frac{1}{a} = \sqrt{5}. $所以$ a^2 - \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})(a - \frac{1}{a}) = \sqrt{5}.$
解析：
解：因为$a - \frac{1}{a} = 1$，所以$(a - \frac{1}{a})^2 = 1^2$，即$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 1$，可得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 3$。
则$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 5$，即$(a + \frac{1}{a})^2 = 5$。
又因为$a ＞ 0$，所以$a + \frac{1}{a} = \sqrt{5}$。
所以$a^2 - \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})(a - \frac{1}{a}) = \sqrt{5} × 1 = \sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
15. 新趋势
情境素材 阅读：已知多项式 $ ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $，当 $ a $，$ b $，$ c $ 取某些有理数时，$ ax^{2}+bx + c $ 是完全平方式。
例如：当 $ a = 1 $，$ b = -2 $，$ c = 1 $ 时，$ ax^{2}+bx + c = x^{2}-2x + 1 = (x - 1)^{2} $，发现 $ (-2)^{2}=4×1×1 $；当 $ a = 1 $，$ b = 6 $，$ c = 9 $ 时，$ ax^{2}+bx + c = x^{2}+6x + 9 = (x + 3)^{2} $，发现 $ 6^{2}=4×1×9 $；当 $ a = 9 $，$ b = 12 $，$ c = 4 $ 时，$ ax^{2}+bx + c = 9x^{2}+12x + 4 = (3x + 2)^{2} $，发现 $ 12^{2}=4×9×4 ······ $
根据阅读解答下列问题：
(1)分解因式：$ 16x^{2}-24x + 9 = $
$(4x - 3)^2$
；
(2)若多项式 $ ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 是完全平方式，则 $ a $，$ b $，$ c $ 之间存在某种数量关系，用等式表示 $ a $，$ b $，$ c $ 之间的这种数量关系为
$b^2 = 4ac$
；
(3)在有理数范围内，若关于 $ x $ 的多项式 $ 4x^{2}+mx + 25 $ 是完全平方式，求 $ m $ 的值；
(4)求多项式 $ x^{2}+y^{2}-4x + 6y + 15 $ 的最小值。
答案：$15. (1) (4x - 3)^2$
$(2) b^2 = 4ac$
(3) 由(2)，得$ m^2 = 4 × 4 × 25 = 400. $又$ (±20)^2 = 400，$所以 m = ±20.
$(4) x^2 + y^2 - 4x + 6y + 15 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 2. $因为$ (x - 2)^2 ≥ 0, (y + 3)^2 ≥ 0，$所以当 x = 2, y = - 3 时，$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 15 $取最小值，且最小值为 2.
