1. (2025·广西)$a^{2}-1$分解因式的结果为(
A
)
A.$(a + 1)(a - 1)$
B.$a(a + 1)$
C.$(a + 1)^{2}$
D.$(a - 1)^{2}$
答案：1 A
2. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是(
C
)
A.$-m^{2}-n^{2}$
B.$x^{2}+4y^{2}$
C.$-16x^{2}+y^{2}$
D.$m^{2}-n$
答案：2 C
3. 分解因式：
(1)(2025·江苏苏州)$x^{2}-9=$
$(x + 3)(x - 3)$
；
(2)$4(a - b)^{2}-9b^{2}=$
$(2a + b)(2a - 5b)$
.
答案：3 (1) $(x + 3)(x - 3)$ (2) $(2a + b)(2a - 5b)$
4. 若$2m + 2n = 10$，$m - n = 2$，则$3m^{2}-3n^{2}=$
30
.
答案：4 30
解析：
由$2m + 2n = 10$，得$m + n = 5$。
因为$m - n = 2$，
所以$3m^{2}-3n^{2}=3(m^{2}-n^{2})=3(m + n)(m - n)=3×5×2=30$。
30
5. 计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×···×(1-\frac{1}{2025^{2}})×(1-\frac{1}{2026^{2}})=$
$\frac{2027}{4052}$
.
答案：5 $\frac{2027}{4052}$
解析：
$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×···×(1-\frac{1}{2025^{2}})×(1-\frac{1}{2026^{2}})$
$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×···×(1-\frac{1}{2026})(1+\frac{1}{2026})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2027}{2026}$
$=\frac{2027}{4052}$
6. （教材P111练习1变式）把下列各式分解因式：
（1）$4a^{2}-9$；
（2）$-144m^{2}+25n^{2}$；
（3）$(x + 1)(x - 9)+8x$；
（4）$36(x + y)^{2}-16(x - y)^{2}$.
答案：6 (1) 原式$=(2a + 3)(2a - 3)$.
(2) 原式$=(5n + 12m)(5n - 12m)$.
(3) 原式$=x^2 - 9x + x - 9 + 8x = x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$.
(4) 原式$=[6(x + y) + 4(x - y)][6(x + y) - 4(x - y)] = (10x + 2y)(2x + 10y) = 4(5x + y)(x + 5y)$.
7. (2025·江苏宿迁模拟)已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，则代数式$(a - c)^{2}-b^{2}$的值是(
C
)
A.正数
B.零
C.负数
D.非正数
答案：7 C
解析：
$(a - c)^2 - b^2=(a - c + b)(a - c - b)$，
因为$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，
所以$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$，
即$a + b - c ＞ 0$，$a - c - b ＜ 0$，
所以$(a - c + b)(a - c - b) ＜ 0$，
则代数式$(a - c)^2 - b^2$的值是负数。
C
8. 新素养
运算能力若$2m + n = 25$，$m - 2n = 2$，则$(m + 3n)^{2}-(3m - n)^{2}$的值为(
B
)
A.200
B.$-200$
C.100
D.$-100$
答案：8 B
解析：
$(m + 3n)^{2}-(3m - n)^{2}$
$=[(m + 3n)+(3m - n)][(m + 3n)-(3m - n)]$
$=(4m + 2n)(-2m + 4n)$
$=2(2m + n)×(-2)(m - 2n)$
$=-4(2m + n)(m - 2n)$
已知$2m + n = 25$，$m - 2n = 2$，代入上式得：
$-4×25×2 = -200$
B
9. 亮点原创已知$a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})$，且$8^{24}-1$能被$55∼65$之间的两个整数整除，则这两个整数是(
B
)
A.56，65
B.57，63
C.59，61
D.59，63
答案：9 B
解析：
$8^{24}-1=(8^{12})^{2}-1=(8^{12}-1)(8^{12}+1)$
$=(8^{6}-1)(8^{6}+1)(8^{12}+1)$
$=(8^{3}-1)(8^{3}+1)(8^{6}+1)(8^{12}+1)$
$=(8 - 1)(8^{2}+8 + 1)(8 + 1)(8^{2}-8 + 1)(8^{6}+1)(8^{12}+1)$
$=7×57×9×57×(8^{6}+1)(8^{12}+1)$
$=7×9×57×57×(8^{6}+1)(8^{12}+1)$
$=63×57×57×(8^{6}+1)(8^{12}+1)$
这两个整数是57，63。
B
10. 已知$(2025^{2}-4)×(2024^{2}-4)=2027×2023×2026n$则$n=$
2022
.
答案：10 2022
解析：
$(2025^{2}-4)×(2024^{2}-4)$
$=(2025 - 2)(2025 + 2)(2024 - 2)(2024 + 2)$
$=2023×2027×2022×2026$
$=2027×2023×2026×2022$
对比等式右边$2027×2023×2026n$，可得$n = 2022$
2022
