11. 若 $ x^{2}+x = 1 $，则 $ x^{4}+x^{3}+x + 1 $ 的值为
2
.
答案：11. 2
解析：
解：因为$x^{2}+x = 1$，所以$x^{2}=1 - x$。
$x^{4}+x^{3}+x + 1$
$=(x^{2})^{2}+x^{3}+x + 1$
$=(1 - x)^{2}+x^{3}+x + 1$
$=1 - 2x + x^{2}+x^{3}+x + 1$
$=x^{3}+x^{2}-x + 2$
$=x(x^{2}+x)-x + 2$
$=x×1 - x + 2$
$=x - x + 2$
$=2$
2
12. 把下列各式分解因式：
（1）$ (2x - y)(x + y)-(x + y)^{2} $；
（2）$ -20c(a - b)^{2}-25(b - a)^{3} $；
（3）$ 15a(a - b)^{2m + 1}-10ab(b - a)^{2m} $（$ m $ 为正整数）.
答案：12. (1)原式$=(x + y)(2x - y - x - y) = (x + y)(x - 2y)$.
(2)原式$=25(a - b)^3 - 20c(a - b)^2 = 5(a - b)^2[5(a - b) - 4c] = 5(a - b)^2(5a - 5b - 4c)$.
(3)原式$=15a(a - b)^{2m + 1} - 10ab(a - b)^{2m} = 5a(a - b)^{2m}[3(a - b) - 2b] = 5a(a - b)^{2m}· (3a - 5b)$.
13. 简便计算：
（1）$ 29×19.99 + 72×19.99 + 13×19.99 - 19.99×14 $；
（2）$ 2025 + 2025^{2}-2026^{2} $.
答案：13. (1)原式$=19.99×(29 + 72 + 13 - 14) = 1999$.
(2)原式$=2025×(1 + 2025) - 2026^2 = 2026×(2025 - 2026) = -2026$.
14. 若 $ a ＞ b ＞ c ＞ d $，$ x = (a + b)(c + d) $，$ y = (a + c)(b + d) $，$ z = (a + d)(b + c) $，则 $ x $，$ y $，$ z $ 之间的大小关系是
$x ＜ y ＜ z$
.
答案：14. $x ＜ y ＜ z$ 解析：因为$x = (a + b)(c + d)$,$y = (a + c)(b + d)$,$z = (a + d)(b + c)$,所以$x - y = ac + ad + bc + bd - ab - ad - bc - cd = a(c - b) + d(b - c) = (b - c)(d - a)$,$y - z = ab + ad + bc + cd - ab - ac - bd - cd = d(a - b) + c(b - a) = (a - b)(d - c)$. 又$a ＞ b ＞ c ＞ d$,所以$a - b ＞ 0$,$b - c ＞ 0$,$d - a ＜ 0$,$d - c ＜ 0$,即$(b - c)· (d - a) ＜ 0$,$(a - b)(d - c) ＜ 0$. 所以$x - y ＜ 0$,$y - z ＜ 0$,即$x ＜ y ＜ z$.
解析：
$x-y=(a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)=ac+ad+bc+bd-ab-ad-bc-cd=a(c-b)+d(b-c)=(b-c)(d-a)$，
$y-z=(a+c)(b+d)-(a+d)(b+c)=ab+ad+bc+cd-ab-ac-bd-cd=d(a-b)+c(b-a)=(a-b)(d-c)$，
因为$a＞b＞c＞d$，所以$b-c＞0$，$d-a＜0$，$a-b＞0$，$d-c＜0$，
则$(b-c)(d-a)＜0$，$(a-b)(d-c)＜0$，
即$x-y＜0$，$y-z＜0$，
故$x＜y＜z$。
15. 新趋势 推导
探究 先阅读下面因式分解的过程，再解答下列问题：
$ 1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}=(1 + x)[1 + x + x(1 + x)]=(1 + x)^{2}(1 + x)=(1 + x)^{3} $.
(1)上述分解因式的方法是
提公因式
法，共应用了
$2$
次；
(2)若分解因式 $ 1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+··· + x(x + 1)^{2025} $，则需要应用上述方法
$2025$
次，分解因式后的结果是
$(1 + x)^{2026}$
；
(3)请用以上方法分解因式：$ 1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+··· + x(x + 1)^{n} $($ n $ 为正整数)，必须有简要的过程；
(4)利用(3)中的结论计算：$ 6 + 5×6 + 5×6^{2}+··· + 5×6^{2025} $.
答案：15. (1)提公因式$2$
(2)$2025\ (1 + x)^{2026}$
(3)原式$=(1 + x)[1 + x + x(x + 1) + ··· + x(x + 1)^{n - 1}] = (1 + x)^2[1 + x + x(x + 1) + ··· + x(x + 1)^{n - 2}] = ··· = (1 + x)^n(1 + x) = (1 + x)^{n + 1}$.
(4)由(3)，得$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^{2025} = (x + 1)^{2026}$,则原式$=1 + 5 + 5×(1 + 5) + 5×(1 + 5)^2 + ··· + 5×(1 + 5)^{2025} = (1 + 5)^{2026} = 6^{2026}$.
