1. 亮点原创·已知有一块面积是 $ 96 \, \mathrm{m}^2 $、高是 $ 8 \, \mathrm{m} $ 的等腰梯形菜地，且围绕这块菜地的栅栏总长是 $ 44 \, \mathrm{m} $，则该等腰梯形的上底长是(
A
)
A.$ 6 \, \mathrm{m} $
B.$ 8 \, \mathrm{m} $
C.$ 9 \, \mathrm{m} $
D.$ 10 \, \mathrm{m} $
答案：1.A
解析：
设等腰梯形的上底长为$a\,\mathrm{m}$，下底长为$b\,\mathrm{m}$，腰长为$c\,\mathrm{m}$。
由梯形面积公式：$\frac{(a + b) × 8}{2}=96$，解得$a + b=24$。
栅栏总长为周长：$a + b + 2c=44$，将$a + b=24$代入得$24 + 2c=44$，解得$c=10$。
过等腰梯形上底顶点作高，高为$8\,\mathrm{m}$，腰长$c=10\,\mathrm{m}$，则下底比上底长$2\sqrt{c^{2}-8^{2}}=2\sqrt{10^{2}-8^{2}}=2×6=12\,\mathrm{m}$，即$b - a=12$。
联立$\begin{cases}a + b=24\\b - a=12\end{cases}$，解得$a=6$。
A
2. (教材 P93 习题 2 变式)如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 8 $，$ BC = 12 $，$ E $ 是 $ AD $ 的中点，连接 $ CE $，则梯形 $ ABCE $ 的周长为
36
。
答案：2.36
解析：
解：在矩形$ABCD$中，$AB=8$，$BC=12$，
$\therefore AB=CD=8$，$AD=BC=12$，$\angle D=90°$。
$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore AE=DE=\frac{1}{2}AD = 6$。
在$\mathrm{Rt}\triangle CDE$中，$CE=\sqrt{DE^2 + CD^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10$。
梯形$ABCE$的周长为$AB + BC + CE + AE=8 + 12 + 10 + 6=36$。
36
3. 如图，在直角梯形 $ BCDE $ 中，$ \angle BCD = 90^{\circ} $，$ BC // DE $，$ DE = 2 $，$ BC = 6 $，$ BE = 5 $，连接 $ CE $，求 $ CD $ 和 $ CE $ 的长。
答案：3.过点E作EF⊥BC于点F，则∠CFE=∠BFE=90°.因为BC//DE，∠BCD=90°，所以∠BCD+∠D=180°，即∠D=180°-∠BCD=90°.所以四边形CDEF是矩形，即CD=EF，DE=CF.又DE=2，BC=6，BE=5，所以CF=2，即BF=BC-CF=4.在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF=$\sqrt{BE^{2}-BF^{2}}$=3，所以CD=3.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE=$\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{13}$.
解析：
解：过点$E$作$EF ⊥ BC$于点$F$，则$\angle CFE = \angle BFE = 90°$。
因为$BC // DE$，$\angle BCD = 90°$，所以$\angle D = 90°$，
故四边形$CDEF$是矩形，因此$CD = EF$，$DE = CF$。
已知$DE = 2$，$BC = 6$，则$CF = 2$，$BF = BC - CF = 6 - 2 = 4$。
在$Rt\triangle BEF$中，$BE = 5$，由勾股定理得：
$EF = \sqrt{BE^2 - BF^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，所以$CD = 3$。
在$Rt\triangle CDE$中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{CD^2 + DE^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$。
答：$CD$的长为$3$，$CE$的长为$\sqrt{13}$。
4. 新素养
运算能力 如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，过点 $ D $ 作 $ DE // AB $，交 $ BC $ 于点 $ E $。若 $ CE = 2AD $，三角形 $ CDE $ 的面积为 $ 8 $，则梯形 $ ABCD $ 的面积为(
C
)
A.$ 8 $
B.$ 10 $
C.$ 16 $
D.$ 20 $
答案：4.C
解析：
证明：
∵ $AD // BC$，$DE // AB$，
∴ 四边形 $ABED$ 是平行四边形，
∴ $AD = BE$，$AB = DE$，且 $\triangle ABE$ 与 $\triangle ADE$、$\triangle BDE$ 等积（同底等高）。
设 $AD = x$，则 $CE = 2AD = 2x$，$BC = BE + EC = x + 2x = 3x$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\triangle CDE$ 与梯形 $ABCD$ 等高（设高为 $h$）。
$\triangle CDE$ 的面积 $S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} × CE × h = \frac{1}{2} × 2x × h = xh = 8$。
梯形 $ABCD$ 的面积 $S_{梯形ABCD} = \frac{1}{2} × (AD + BC) × h = \frac{1}{2} × (x + 3x) × h = 2xh$。
∵ $xh = 8$，
∴ $S_{梯形ABCD} = 2 × 8 = 16$。
答案：C
5. 如图，在腰长为 $ 10 $ 的等腰梯形 $ ABCD $ 中，$ BC = 4AD $，$ AD // BC $。如果将 $ AD $ 延长到点 $ E $，连接 $ CE $，使四边形 $ ABCE $ 是平行四边形，且 $ \triangle CDE $ 的面积为 $ 48 $，那么 $ BC $ 的长为(
C
)
A.$ \dfrac{64}{3} $
B.$ 16 $
C.$ 16 $ 或 $ \dfrac{64}{3} $
D.$ 18 $ 或 $ \dfrac{64}{3} $
答案：5.C
解析：
解：设$AD = x$，则$BC = 4x$。
∵四边形$ABCE$是平行四边形，
∴$AE = BC = 4x$，$AB = CE = 10$，
∴$DE = AE - AD = 4x - x = 3x$。
过点$C$作$CF ⊥ DE$于点$F$，则$S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} · DE · CF = 48$，
∴$\frac{1}{2} · 3x · CF = 48$，解得$CF = \frac{32}{x}$。
过点$A$作$AG ⊥ BC$于点$G$，则$AG = CF = \frac{32}{x}$，$BG = \frac{BC - AD}{2} = \frac{4x - x}{2} = \frac{3x}{2}$或$BG = \frac{AD - BC}{2} = \frac{x - 4x}{2} = -\frac{3x}{2}$（取绝对值$\frac{3x}{2}$）。
在$Rt\triangle ABG$中，$AB^2 = AG^2 + BG^2$，
∴$10^2 = (\frac{32}{x})^2 + (\frac{3x}{2})^2$，
整理得$9x^4 - 400x^2 + 4096 = 0$，
设$y = x^2$，则$9y^2 - 400y + 4096 = 0$，
解得$y_1 = \frac{256}{9}$，$y_2 = 16$，
∴$x_1 = \frac{16}{3}$，$x_2 = 4$（$x ＞ 0$），
∴$BC = 4x = \frac{64}{3}$或$16$。
答案：C
6. 如图，在等边三角形 $ ABC $ 中，$ D $，$ E $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 的中点，连接 $ DE $。若梯形 $ BCED $ 的周长为 $ 20 $，则 $ AC $ 的长为
8
。
答案：6.8
解析：
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°。
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=DB=$\frac{1}{2}$AB，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，
DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，且DE//BC。
设AC=x，则AB=BC=AC=x，
DB=EC=$\frac{x}{2}$，DE=$\frac{x}{2}$。
梯形BCED的周长=BD+DE+EC+BC，
即$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$+x=20，
化简得$\frac{5x}{2}$=20，
解得x=8。
故AC的长为8。
7. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，边 $ CD $ 两端分别延长到 $ E $，$ F $ 两点，且 $ CE = DF $，连接 $ AE $，$ BF $。求证：梯形 $ ABFE $ 是等腰梯形。
答案：7.因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°.又∠ADC+∠ADE=180°，∠BCD+∠BCF=180°，所以∠ADE=∠BCF=90°.又CE=DF，所以CE-CD=DF-CD，即DE=CF.所以△ADE≌△BCF(SAS).所以AE=BF.所以梯形ABFE是等腰梯形.
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB // CD$，$AD = BC$，$\angle ADC = \angle BCD = 90°$。
∵$\angle ADC + \angle ADE = 180°$，$\angle BCD + \angle BCF = 180°$，
∴$\angle ADE = \angle BCF = 90°$。
∵$CE = DF$，
∴$CE - CD = DF - CD$，即$DE = CF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BCF$中，
$\begin{cases} AD = BC \\ \angle ADE = \angle BCF \\ DE = CF \end{cases}$，
∴$\triangle ADE \cong \triangle BCF$（SAS）。
∴$AE = BF$。
∵$AB // EF$且$AE = BF$，
∴梯形$ABFE$是等腰梯形。
8. 亮点原创·如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ \angle ADC = 105^{\circ} $，$ \angle ABC = 45^{\circ} $，连接 $ BD $，且 $ BD = BC $，则 $ \dfrac{AD}{BC} $ 的值为(
B
)
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} $
C.$ \dfrac{1}{4} $
D.$ \dfrac{\sqrt{3} + 1}{4} $
答案：8.B 解析：过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，则∠BEA=90°.因为AD//BC，∠ADC=105°，∠ABC=45°，所以∠BAE=∠ABC=45°，∠ADC+∠C=180°，即∠C=180°-∠ADC=75°.又∠ABE+∠BAE=90°，所以∠ABE=90°-∠BAE=45°.所以∠ABE=∠BAE，即BE=AE.又BD=BC，所以∠BDC=∠C=75°，即∠BDA=30°.所以BD=2BE，即BC=2BE.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE=$\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}$=$\sqrt{3}$BE，所以AD=DE-AE=(\sqrt{3}-1)BE.所以$\frac{AD}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
9. 如图，在直角梯形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ AD = 2 $，$ BC = 4 $，过点 $ B $ 作 $ BE ⊥ AB $，交 $ DC $ 的延长线于点 $ E $，且 $ AB = BE $，则 $ \triangle BCE $ 的面积为
4
。
答案：9.4 解析：过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFB=∠AFC=90°.所以∠ABF+∠BAF=90°.因为∠D=∠BCD=90°，所以四边形ADCF是矩形，即AD=CF，AF=DC.又AD=2，所以CF=2.又BC=4，所以BF=BC-CF=2.又AB⊥BE，所以∠ABE=90°，即∠ABF+∠EBC=90°.所以∠BAF=∠EBC.又∠BCD+∠BCE=180°，所以∠BCE=180°-∠BCD=90°，即∠BCE=∠AFB.又AB=BE，所以△ABF≌△BEC(AAS).所以BF=EC，即EC=2.所以$S_{\triangle BCE}$=$\frac{1}{2}$BC·EC=4.
解析：
解：过点$A$作$AF ⊥ BC$于点$F$，则$\angle AFB = \angle AFC = 90°$，$\angle ABF + \angle BAF = 90°$。
因为$\angle D = \angle BCD = 90°$，所以四边形$ADCF$是矩形，故$AD = CF = 2$，$AF = DC$。
因为$BC = 4$，所以$BF = BC - CF = 4 - 2 = 2$。
因为$AB ⊥ BE$，所以$\angle ABE = 90°$，即$\angle ABF + \angle EBC = 90°$，故$\angle BAF = \angle EBC$。
因为$\angle BCD + \angle BCE = 180°$，所以$\angle BCE = 180° - 90° = 90°$，即$\angle BCE = \angle AFB$。
又因为$AB = BE$，所以$\triangle ABF \cong \triangle BEC$（AAS），则$BF = EC = 2$。
所以$S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2} × BC × EC = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
4
