解：以点$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$BA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
$\because AB = 12$，$BC = 16$，
$\therefore A(0,12)$，$B(0,0)$，$C(16,0)$，$D(16,12)$。
$\because E$，$F$分别是边$AB$，$BC$的中点，
$\therefore E(0,6)$，$F(8,0)$。
$\because G$，$H$分别是$EC$，$FD$的中点，
$\therefore G(\dfrac{0 + 16}{2},\dfrac{6 + 0}{2})=(8,3)$，$H(\dfrac{8 + 16}{2},\dfrac{0 + 12}{2})=(12,6)$。
$\therefore GH=\sqrt{(12 - 8)^{2}+(6 - 3)^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
答案：C

解：
∵F为DE中点，
∴EF=DF=1/2DE。
∵△CEF周长=CE+CF+EF=32，CE=7，
∴CF+EF=25，即CF+1/2DE=25。
设DE=2x，则EF=x，CF=25-x。
在Rt△DCE中，CD²+CE²=DE²，设CD=BC=a，则a²+7²=(2x)²。
∵O为正方形ABCD对角线交点，
∴O为BD中点。
又F为DE中点，
∴OF为△BDE中位线，OF=1/2BE。
设BE=a-7，则OF=1/2(a-7)。
在Rt△DCE中，DE=2x，CD=a，CE=7，
∴a²=4x²-49。
在△CFD中，F为DE中点，CF为中线，由中线定理：
2CF²+2DF²=CD²+CE²，即2(25-x)²+2x²=a²+7²。
将a²=4x²-49代入得：
2(625-50x+x²)+2x²=4x²-49+49，
1250-100x+2x²+2x²=4x²，
1250=100x，解得x=12.5。
∴DE=2x=25，a²=25²-7²=625-49=576，a=24。
∴BE=24-7=17，OF=1/2×17=8.5。
8.5

证明：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=5$，$AB=13$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$。
$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转得$\triangle DEC$，则$CA=CD$，$CB=CE$，$\angle ACD=\angle BCE=\alpha$（旋转角）。
$\triangle ACD$和$\triangle BCE$均为等腰三角形，$\angle CAD=\angle CDA=\frac{180° - \alpha}{2}$，$\angle CBE=\angle CEB=\frac{180° - \alpha}{2}$，故$\angle CAD=\angle CBE$。
设$AD$与$BC$交于点$H$，则$\angle AHC=\angle BHF$，$\angle BFH=\angle ACH=90°$，即$\angle AFB=90°$，点$F$在以$AB$为直径的圆上。
$G$为$BC$中点，$BC=12$，则$CG=\frac{1}{2}BC=6$。$AB=13$，$AB$中点$O$到$B$的距离$OB=\frac{13}{2}$。
当$O$，$G$，$F$三点共线且$F$在$OG$延长线上时，$GF$最大，$OG=OB - BG=\frac{13}{2}-6=\frac{1}{2}$（或通过坐标计算$OG=\frac{1}{2}$），$GF=OG + OF=\frac{1}{2}+\frac{13}{2}=7$（此处原解析有误，正确计算应为：以$AB$中点$O$为圆心，$AB$为直径，$G$为定点，$GF$最大值为$OG + OF$。$O$为$AB$中点，坐标法设$C(0,0)$，$A(0,5)$，$B(12,0)$，则$O(6,\frac{5}{2})$，$G(6,0)$，$OG=\frac{5}{2}$，$OF=\frac{13}{2}$，$GF$最大值为$\frac{5}{2}+\frac{13}{2}=9$）。
综上，$GF$的最大值为$9$。
$\boxed{9}$