1. (2025·广东)如图，D，E，F 分别是△ABC 各边上的中点，∠A = 70°，则∠EDF 的度数为(
C
)
A.20°
B.40°
C.70°
D.110°
答案：1. C
解析：
证明：
∵D，E，F分别是△ABC各边上的中点，
∴DF、DE是△ABC的中位线，
∴DF//AB，DE//AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴∠EDF=∠A=70°．
答案：C
2. 如图，在四边形 ABCD 中，P 是边 CD 上的动点，Q 是边 BC 上的定点，连接 AP，PQ，E，F 分别是 AP，PQ 的中点，连接 EF. 点 P 在由点 C 运动到点 D 的过程中，线段 EF 的长(
A
)
A.保持不变
B.逐渐变小
C.先变大，再变小
D.逐渐变大
答案：2. A
易错警示
解决这类问题的关键是掌握三角形的中位线定理，抓住题中的一些特定条件能避免错误。
3. (2025·江苏扬州)如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，BC 的中点，点 F 在线段 DE 的延长线上，且∠BFC = 90°. 若 AC = 4，BC = 8，则 DF 的长是
6
.
]
答案：3. 6
解析：
证明：
∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×4 = 2$，且DE//AC.
∵∠BFC = 90°，E是BC的中点，BC = 8，
∴EF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×8 = 4$.
∵点F在线段DE的延长线上，
∴DF = DE + EF = 2 + 4 = 6.
6
4. 新素养
运算能力 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF，M，N 分别是 DC，DF 的中点，连接 MN. 若 AB = 7，BE = 5，则 MN =
6.5
.
答案：4. 6.5
解析：
解：连接CF。
∵正方形ABCD中，AB=7，
∴CD=BC=AB=7，∠BCD=90°。
∵正方形BEFG中，BE=5，
∴BG=BE=5，∠GBE=90°。
∵点B在GC上，
∴GC=GB+BC=5+7=12。
在Rt△FCD中，FC=GC=12，CD=7，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{FC^2 + CD^2}=\sqrt{12^2 + 7^2}=\sqrt{144 + 49}=\sqrt{193}$。
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN是△DCF的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}×13=6.5$。
6.5
5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，以 BC 为斜边在矩形的外部作直角三角形 BEC，F 是 CD 的中点，连接 EF，则 EF 的长的最大值为
9
.
答案：5. 9
解析：
解：取BC中点O，连接OE，OF。
在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
∴BC=AD=8，CD=AB=6，∠BCD=90°。
∵O为BC中点，F为CD中点，
∴OC=BC/2=4，CF=CD/2=3。
在Rt△OCF中，OF=√(OC²+CF²)=√(4²+3²)=5。
∵△BEC为直角三角形，BC为斜边，
∴OE=BC/2=4。
∵EF≤OE+OF，当且仅当O，E，F三点共线时取等号，
∴EF的最大值为OE+OF=4+5=9。
9
6. （教材 P88 例变式）（2024·云南）如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是各边的中点，且 AB // CD，AD // BC，四边形 EFGH 是矩形.
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）若矩形 EFGH 的周长为 22，四边形 ABCD 的面积为 10，求 AB 的长.
答案：6. (1) 连接AC,BD相交于点O. 因为E,F,H分别是AB,BC,AD的中点，所以EF//AC,EF = $\frac{1}{2}$AC,EH//BD,EH = $\frac{1}{2}$BD. 因为四边形EFGH是矩形，所以∠FEH = 90°, 即EF⊥EH. 所以AC⊥BD. 又AB//CD,AD//BC, 所以四边形ABCD是菱形。
(2) 由(1)，得四边形ABCD是菱形,EF = $\frac{1}{2}$AC,EH = $\frac{1}{2}$BD,AC⊥BD, 所以∠AOB = 90°,OA = $\frac{1}{2}$AC,OB = $\frac{1}{2}$BD. 因为矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10, 所以2(EF + EH)=22,$\frac{1}{2}$AC·BD = 10, 即AC + BD = 22,AC·BD = 20. 在Rt△AOB中, 由勾股定理, 得OA² + OB² = AB², 所以AB² = $\frac{1}{4}$(AC² + BD²) = $\frac{1}{4}$[(AC + BD)² - 2AC·BD] = 111, 即AB = $\sqrt{111}$。
7. 如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC，BE ⊥ AE 于点 E，F 是 BC 的中点. 若 AB = 10，AC = 6，则 EF 的长为(
A
)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：7. A
解析：
证明：延长BE交AC延长线于点G。
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE，
∴∠BAE=∠GAE，∠AEB=∠AEG=90°。
在△ABE和△AGE中，
$\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠GAE \\ AE=AE \\ ∠AEB=∠AEG \end{array} $，
∴△ABE≌△AGE(ASA)。
∴AG=AB=10，BE=EG。
∵AC=6，
∴CG=AG-AC=10-6=4。
∵F是BC中点，BE=EG，
∴EF是△BCG的中位线。
∴EF=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{1}{2}$×4=2。
答案：A
