7. 如图,在正六边形$ABCDEF$中,$M$,$N$是对角线$BE$上两点,连接$AM$,$DM$,$DN$,$AN$.添加下列条件中的一个:①$BM=EN$;②$\angle FAN=\angle CDM$;③$AM=DN$;④$\angle AMB=\angle DNE$.其中能使四边形$AMDN$是平行四边形的是
①②④
.(填序号)
]
答案：7.①②④
解析：
证明：在正六边形$ABCDEF$中，$AB=DE$，$\angle ABE=\angle DEB=60°$，$AF=CD$，$\angle FAB=\angle CDE=120°$，$BE$为公共对角线。
①若$BM=EN$，则$BE - BM = BE - EN$，即$EM=BN$。在$\triangle ABM$和$\triangle DEN$中，$\{\begin{array}{l}AB=DE\\\angle ABM=\angle DEN\\BM=EN\end{array} $，$\triangle ABM\cong\triangle DEN(SAS)$，$\therefore AM=DN$，$\angle AMB=\angle DNE$，$\therefore\angle AME=\angle DNB$。在$\triangle AME$和$\triangle DNB$中，$\{\begin{array}{l}AM=DN\\\angle AME=\angle DNB\\EM=BN\end{array} $，$\triangle AME\cong\triangle DNB(SAS)$，$\therefore AE=DB$，$AM// DN$，故四边形$AMDN$是平行四边形。
②若$\angle FAN=\angle CDM$，$\angle FAB=\angle CDE=120°$，则$\angle BAM=\angle EDN$。在$\triangle ABM$和$\triangle DEN$中，$\{\begin{array}{l}\angle BAM=\angle EDN\\AB=DE\\\angle ABM=\angle DEN\end{array} $，$\triangle ABM\cong\triangle DEN(ASA)$，$\therefore AM=DN$，$BM=EN$，由①知四边形$AMDN$是平行四边形。
④若$\angle AMB=\angle DNE$，则$\angle AME=\angle DNB$。在$\triangle ABM$和$\triangle DEN$中，$\{\begin{array}{l}\angle AMB=\angle DNE\\\angle ABM=\angle DEN\\AB=DE\end{array} $，$\triangle ABM\cong\triangle DEN(AAS)$，$\therefore AM=DN$，$BM=EN$，由①知四边形$AMDN$是平行四边形。
③$AM=DN$，不能证明$\triangle ABM\cong\triangle DEN$或$\triangle AME\cong\triangle DNB$，无法判定四边形$AMDN$是平行四边形。
综上，能使四边形$AMDN$是平行四边形的是①②④。
①②④
8. 亮点原创 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle A=\angle ABC=90^{\circ}$,$E$是边$CD$的中点,连接$BE$并延长,交$AD$的延长线于点$F$,连接$CF$,$BD$.若$BC=CF=13$,$AD=5$,则三角形$ABF$的面积为
108
.
答案：8.108
9. 如图①,在$□ ABCD$中,$O$是对角线$BD$的中点,点$E$在边$BC$上,$EO$的延长线与边$AD$交于点$F$,连接$BF$,$DE$.
(1) 求证:四边形$BEDF$是平行四边形;
(2) 如图②,若$DE=DC$,$\angle CBD=45^{\circ}$,过点$C$作$DE$的垂线,与$DE$,$BD$,$BF$分别交于$G$,$H$,$P$三点.
① 当$CD=\sqrt{10}$,$CE=2$时,求$BE$的长;
② 求证:$CD=CH$.
答案：9.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，所以AD//BC，OB = OD，即∠ADB = ∠CBD. 又∠BOE = ∠DOF，所以△BOE≌△DOF(ASA). 所以OE = OF. 所以四边形BEDF是平行四边形.
(2)①过点D作DN⊥CE于点N，则∠DNC = ∠DNB = 90°. 因为DE = DC = √10，CE = 2，所以EN = CN = 1/2CE = 1. 在Rt△CDN中，由勾股定理，得DN = √(DC² - CN²) = 3. 又∠DBC = 45°，∠DBC + ∠BDN = 90°，所以∠BDN = ∠DBC = 45°，即BN = DN = 3. 所以BE = BN - EN = 2.
②因为DN⊥CE，CG⊥DE，所以∠CEG + ∠ECG = 90°，∠DEN + ∠EDN = 90°，即∠EDN = ∠ECG. 因为DE = DC，所以∠EDN = ∠CDN，即∠ECG = ∠CDN. 由(2)①，得∠BDN = ∠DBC = 45°，且∠DHC = ∠DBC + ∠BCH = 45° + ∠ECG，∠CDB = ∠BDN + ∠CDN = 45° + ∠CDN，所以∠CDB = ∠DHC，即CD = CH.
10. 如图,分别以$Rt\triangle ABC$的斜边$AB$和直角边$AC$为边分别向外作等边三角形$ABD$和等边三角形$ACE$,$F$为$AB$的中点,连接$DF$,$EF$,$DE$,$DE$与$AB$相交于点$G$,且$DG=EG$,$\angle BAC=30^{\circ}$.有下列结论:①$EF⊥ AC$;②四边形$ADFE$为平行四边形;③$AD=4AG$;④$\triangle DBF\cong\triangle EFA$.其中正确的是
①②③④
.(填序号)
答案：10.①②③④ 解析：连接CF. 由题意，得∠ACB = 90°，F为AB的中点，所以AF = BF = CF = 1/2AB. 又△ACE和△ABD是等边三角形，所以AE = CE，∠CAE = ∠AEC = ∠ADB = 60°，AD = BD = AB，即DF⊥AB，EF垂直平分AC. 所以∠DFB = ∠DFA = 90°，∠BDF = 1/2∠ADB = 30°，EF⊥AC. 故①正确；所以∠AEF = ∠CEF = 1/2∠AEC = 30°，即∠AEF = ∠BDF. 又∠BAC = 30°，所以∠BAC + ∠CAE = 90°，即∠EAF = 90°. 所以∠EAF = ∠DFA = ∠DFB，即△DBF≌△EFA(AAS). 故④正确；又∠AGE = ∠FGD，EG = DG，所以△AGE≌△FGD(AAS). 所以AG = FG. 所以四边形ADFE为平行四边形. 故②正确；所以AF = 2AG，即AB = 4AG. 所以AD = 4AG. 故③正确. 综上，正确的是①②③④.
解析：
证明：连接CF。
∵△ABC为直角三角形，F为AB中点，
∴AF=BF=CF=$\frac{1}{2}AB$。
∵△ABD、△ACE为等边三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE，∠ADB=∠CAE=∠AEC=60°。
∵F为AB中点，△ABD为等边三角形，
∴DF⊥AB，∠BDF=$\frac{1}{2}∠ADB=30°$，∠DFA=∠DFB=90°。
∵△ACE为等边三角形，AE=CE，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC，∠AEF=$\frac{1}{2}∠AEC=30°$，故①正确。
∵∠BAC=30°，∠CAE=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAE=90°=∠DFA。
在△DBF和△EFA中，
$\begin{cases}∠DFB=∠EAF=90° \\∠BDF=∠AEF=30° \\BF=AF\end{cases}$，
∴△DBF≌△EFA(AAS)，故④正确。
在△AGE和△FGD中，
$\begin{cases}∠AGE=∠FGD \\∠EAG=∠DFG=90° \\EG=DG\end{cases}$，
∴△AGE≌△FGD(AAS)，
∴AG=FG，
∴四边形ADFE为平行四边形，故②正确。
∵AG=FG，AF=AG+FG，
∴AF=2AG，AB=2AF=4AG，
∵AD=AB，
∴AD=4AG，故③正确。
综上，正确的是①②③④。
11. 新素养
模型观念 如图,在$□ ABCD$中,对角线$BD$,$AC$相交于点$O$,$E$,$F$两点分别在$BD$,$DB$的延长线上,且$DE=BF$,连接$AE$,$AF$,$CF$,$CE$.
(1) 求证:四边形$AFCE$为平行四边形;
(2) 若$AC$平分$\angle EAF$,$\angle AEC=60^{\circ}$,$OA=4$,求四边形$AFCE$的周长;
(3) 若$DE=\frac{1}{3}OD$,$BF=\frac{1}{3}OB$,则四边形$AFCE$是平行四边形吗?若$DE=\frac{1}{n}OD$,$BF=\frac{1}{n}OB$($n$为正整数),则四边形$AFCE$是平行四边形吗?简单说明理由.
]
答案：11.(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以OD = OB，OA = OC. 因为DE = BF，所以OD + DE = OB + BF，即OE = OF. 所以四边形AFCE为平行四边形.
(2)因为AC平分∠EAF，所以∠EAC = ∠FAC. 由(1)，得四边形AFCE为平行四边形，且OA = 4，所以AE = CF，AF = CE，CE//AF，OC = OA = 4. 所以∠ECA = ∠FAC，AC = 8，即∠EAC = ∠ECA. 所以△EAC是等边三角形. 所以AE = CE = AC = 8，即AE = CE = AF = CF = 8. 所以AF + CF + CE + AE = 4AE = 32，即四边形AFCE的周长是32.
(3)若DE = 1/3OD，BF = 1/3OB，则四边形AFCE是平行四边形. 理由如下：由(1)，得OA = OC，OB = OD. 因为DE = 1/3OD，BF = 1/3OB，所以DE = BF. 所以OB + BF = OD + DE，即OF = OE. 所以四边形AFCE是平行四边形. 若DE = 1/nOD，BF = 1/nOB，则四边形AFCE是平行四边形. 理由如下：由(1)，得OA = OC，OB = OD. 因为DE = 1/nOD，BF = 1/nOB，所以DE = BF. 所以DE + OD = BF + OB，即OF = OE. 所以四边形AFCE是平行四边形.
