1. (教材 P71 习题 8 变式)如图,在$□ ABCD$的对角线$BD$上找$E$,$F$两点,使四边形$AECF$为平行四边形.现有下列三种方案:①$BE=DF$;②$AE⊥ BD$,$CF⊥ BD$;③$AE$,$CF$分别平分$\angle BAD$,$\angle BCD$.其中正确的是 (
A
)
A.①②③
B.①③
C.①②
D.②③
答案：1.A
解析：
证明：
方案①：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，$\angle ABE=\angle CDF$。
∵$BE=DF$，
∴$\triangle ABE\cong\triangle CDF(SAS)$，
∴$AE=CF$，$\angle AEB=\angle CFD$，
∴$\angle AEF=\angle CFE$，
∴$AE// CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形。
方案②：
∵$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，
∴$AE// CF$，$\angle AEB=\angle CFD=90°$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD$，$\angle ABE=\angle CDF$，
∴$\triangle ABE\cong\triangle CDF(AAS)$，
∴$AE=CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形。
方案③：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$\angle BAD=\angle BCD$，$AB=CD$，$\angle ABE=\angle CDF$。
∵$AE$，$CF$分别平分$\angle BAD$，$\angle BCD$，
∴$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAD$，$\angle DCF=\frac{1}{2}\angle BCD$，
∴$\angle BAE=\angle DCF$，
∴$\triangle ABE\cong\triangle CDF(ASA)$，
∴$AE=CF$，$\angle AEB=\angle CFD$，
∴$\angle AEF=\angle CFE$，
∴$AE// CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形。
综上，①②③均正确。
答案：A
2. 如图,要做一个平行四边形框架,只要将两根木条$AC$,$BD$的中点重叠并用钉子固定,这样四边形$ABCD$就是平行四边形,这种做法的依据是
对角线互相平分的四边形是平行四边形
.
答案：2.对角线互相平分的四边形是平行四边形
3. 新素养
运算能力 如图,在$□ ABCD$中,$BC$的垂直平分线$EO$交$AD$于点$E$,交$BC$于点$O$,连接$BE$,$CE$,过点$C$作$CF// BE$,交$EO$的延长线于点$F$,连接$BF$.若$AD=8$,$CE=5$,则四边形$BFCE$的面积为
24
.
答案：3.24
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC=8$。
∵$EO$是$BC$的垂直平分线，
∴$BO=CO=\frac{1}{2}BC=4$，$EO⊥ BC$。
设$EO=x$，$AE=y$，则$ED=AD-AE=8-y$。
∵$E$在$AD$上，$AD// BC$，$EO⊥ BC$，
∴$EO⊥ AD$，即$\triangle ABE$、$\triangle CDE$均为直角三角形。
在$Rt\triangle CDE$中，$CE^2=ED^2+EO^2$，即$5^2=(8-y)^2+x^2$①。
在$Rt\triangle BOE$中，$BE^2=BO^2+EO^2=4^2+x^2=16+x^2$。
在$Rt\triangle ABE$中，$BE^2=AE^2+AB^2$（此处$AB$为平行四边形的边，与$EO$无关，实际应利用$E$在$AD$上，$AE+ED=8$，且$BE=CF$，$CF// BE$，四边形$BFCE$为平行四边形）。
∵$CF// BE$，$\angle EOB=\angle FOC=90°$，$BO=CO$，
∴$\triangle BOE\cong\triangle COF(ASA)$，$EO=FO$，
∴四边形$BFCE$是菱形（对角线互相垂直平分）。
菱形$BFCE$的面积$S=\frac{1}{2}× BC× EF$。
在$Rt\triangle COE$中，$CE=5$，$CO=4$，
∴$EO=\sqrt{CE^2-CO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴$EF=2EO=6$，
∴$S=\frac{1}{2}×8×6=24$。
24
4. (2025·江苏淮安模拟)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$E$,$F$分别是$AD$,$BC$上的点,$AF$与$BE$相交于点$G$,$DF$与$CE$相交于点$H$,连接$EF$,$GH$交于点$O$.若$EF=2OE$,$GH=2OG$,试判断$AB$,$CD$之间的关系,并说明你的理由.
答案：4.AB//CD，且AB = CD. 理由如下：因为EF = 2OE，GH = 2OG，所以OE = OF，OG = OH. 所以四边形EGFH是平行四边形. 所以GF//HE，即AF//CE. 因为AD//BC，所以AE//CF. 所以四边形AFCE为平行四边形. 所以AE = CF. 同理，得DE = BF. 所以AE + DE = CF + BF，即AD = BC. 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以AB//CD，且AB = CD.
5. 新素养
几何直观 已知$\triangle ABC$,按如图所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等能推出四边形$ABCD$是平行四边形的依据是 (
B
)
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
答案：5.B
解析：
证明：由尺规作图痕迹可知，AC与BD互相平分。
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
答案：B
6. (2025·江苏无锡模拟)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$D$为边$AB$上一点,连接$CD$,$E$为$CD$的中点,连接$BE$并延长至点$F$,使得$EF=EB$,连接$DF$交$AC$于点$G$,连接$CF$.若$\angle A=30^{\circ}$,$BC=2$,$CF=3$,则$DG$的长为 (
B
)
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$1$
D.$\frac{3}{2}$
答案：6.B
解析：
证明：
∵E为CD中点，
∴CE=DE，
又EF=EB，∠CEF=∠DEB，
∴△CEF≌△DEB(SAS)，
∴CF=DB=3，∠FCE=∠BDE，
∴CF//AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，AC=√(AB²-BC²)=2√3，
∵DB=3，
∴AD=AB-DB=1，
∵CF//AB，
∴△AGD∽△CGF，
∴AG/CG=AD/CF=1/3，
∵AC=AG+CG=2√3，
∴AG=√3/2，CG=3√3/2，
在Rt△AGD中，∠A=30°，AD=1，
∴DG=AD·sin30°=1×1/2=1/2.
答案：$\frac{1}{2}$
