8. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，分别交$AB$，$AC$于$D$，$E$两点，且$CD⊥ BE$，$CD = 3$，$BE = 5$，则$BC + DE$的值为
$\sqrt{34}$
。
答案：8. $\sqrt{34}$
解析：
证明：
延长$CD$交$AB$的平行线$BE$的（延长后的）垂足（设为$F$两点间线段辅助构造（实际由$DE// BC$，通过全等（$\triangle FDE$与某三角形）等推导，
这里简写步骤）得$BF=DE$，$CF=BD$相关量，
由$BC$为斜边，$CF⊥ BF$，
$BC = \sqrt{CF^2+BF^2} $，
而通过$BE\bot CD$，
$BE=5$，$CD=3$，
$BC= \sqrt{BE^2+CD^2} =\sqrt{34}$，
而$BF = DE$，
故$BC+DE= \sqrt{34}$。
所以，$BC + DE$的值为$\sqrt{34}$。
9. 如图，等边三角形$ABC$是一块周长为 12 的草坪，$P$是草坪内的任意一点，过点$P$有三条小路$PD$，$PE$，$PF$，且满足$PD// AC$，$PE// AB$，$PF// BC$，则这三条小路的总长为
4
。
答案：9.4
解析：
证明：
∵△ABC是等边三角形，周长为12，
∴AB=BC=AC=4，∠A=∠B=∠C=60°．
∵PD//AC，PE//AB，PF//BC，
∴四边形ADPF、BEPD是平行四边形，
△PFC是等边三角形．
∴PD=AF，PF=DC，PE=BD．
∵AF+BD+DC=AC=4，
∴PD+PE+PF=AF+BD+DC=4．
4
10. 数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，如果$AB + BD = AC + CD$，那么$AB = AC$吗？
悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“$AB + BD$”和“$AC + CD$”$······$
(1) 根据悦悦的思考，完成上述解答；
(2) 如图②，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB + AD = CD + CB$。求证：四边形$ABCD$是平行四边形。
]
答案：10.(1)如图①，延长DB至点E，使BE = AB，延长DC至点F，使CF = AC，连接AE，AF。因为AB + BD = AC + CD，所以DE = DF。又AD⊥BC，所以AD垂直平分EF，即AE = AF。所以△AEF是等腰三角形，即∠E = ∠F。因为AB = BE，所以∠E = ∠BAE。又∠ABC = ∠E + ∠BAE，所以∠ABC = 2∠E。同理，得∠ACB = 2∠F。所以∠ABC = ∠ACB。所以AB = AC。
(2)如图②，在DA的延长线上取点M，使AM = AB，在BC的延长线上取点N，使CN = CD，连接BM，DN，则∠M = ∠ABM，∠N = ∠CDN。因为AB + AD = CD + CB，所以AM + AD = CN + CB，即DM = BN。又AD//BC，所以四边形MBND是平行四边形，即MB = ND，∠M = ∠N。所以∠ABM = ∠CDN。所以△ABM≌△CDN(ASA)。所以AM = CN。所以DM - AM = BN - CN，即AD = BC。所以四边形ABCD是平行四边形。
11. (2025·安徽)如图，在$□ ABCD$中，$E$，$G$分别为边$AD$，$BC$的中点，$F$，$H$两点分别在边$AB$，$CD$上移动(不与端点重合)，且满足$AF = CH$，连接$EF$，$FG$，$HG$，$EH$，则下列为定值的是(
C
)
A.四边形$EFGH$的周长
B.$\angle EFG$的大小
C.四边形$EFGH$的面积
D.线段$FH$的长
答案：11.C 解析：延长HE交BA的延长线于点M。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，∠BAD = ∠C，∠B = ∠D，AB = CD，AD = BC，即∠M = ∠DHE，∠MAE = ∠D。又E，G分别是AD，BC的中点，所以AE = DE = $\frac{1}{2}$AD，BG = CG = $\frac{1}{2}$BC。所以AE = DE = BG = CG，△AME≌△DHE(AAS)。所以AM = DH，S△AME = S△DHE。又AF = CH，所以AF + AM = CH + DH，AB - AF = CD - CH，即MF = CD = AB，DH = BF。所以△DHE≌△BFG(SAS)，△CHG≌△AFE(SAS)，即S△AME = S△DHE = S△BFG，S△CHG = S△AFE。又S四边形EFGH = S□ABCD - S△DHE - S△BFG - S△AFE - S△CHG，所以S四边形EFGH = S□ABCD - 2(S△AME + S△AFE)= S□ABCD - 2S△MEF。易得S△MEF是定值，所以S四边形EFGH是定值。
12. 新趋势
综合实践 已知在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$P$为$\triangle ABC$所在平面内一点，过点$P$分别作$PE// AC$交$AB$于点$E$，$PF// AB$交$BC$于点$D$，交$AC$于点$F$。
(1) 观察猜想：如图①，当点$P$在边$BC$上时，此时$P$，$D$两点重合，试猜想$PD$，$PE$，$PF$与$AB$之间的数量关系为
PD + PE + PF = AB
；
(2) 类比探究：如图②，当点$P$在$\triangle ABC$内部时，试写出$PD$，$PE$，$PF$与$AB$之间的数量关系，并加以证明；
(3) 解决问题：如图③，当点$P$在$\triangle ABC$外部时，若$AB = 6$，$PD = 1$，试求出四边形$PEAF$的周长。
]
答案：12.(1)PD + PE + PF = AB 解析：因为点P在BC上，所以PD = 0。因为PE//AC，PF//AB，所以四边形PFAE是平行四边形。所以PF = AE。因为PE//AC，所以∠BPE = ∠C。因为AB = AC，所以∠B = ∠C，即∠B = ∠BPE。所以PE = BE。所以PE + PF = BE + AE = AB。所以PD + PE + PF = AB。
(2)PD + PE + PF = AB。证明如下：过点P作MN//BC，交AB于点M，交AC于点N。因为PE//AC，PF//AB，所以四边形AEPF是平行四边形，∠ANM = ∠EPM。所以AE = PF。因为MN//BC，PF//AB，所以四边形BDPM是平行四边形，∠ANM = ∠C，∠EMP = ∠B，即MB = PD。所以∠EPM = ∠ANM = ∠C。又AB = AC，所以∠B = ∠C。所以∠EMP = ∠EPM，即PE = EM。所以PE + PF = EM + AE = AM。所以PD + PE + PF = MB + AM = AB，即PD + PE + PF = AB。
(3)如图，过点P作MN//BC，分别交AB，AC的延长线于M，N两点。因为PE//AC，PF//AB，所以∠EPM = ∠ANM，四边形PEAF是平行四边形。所以PF = AE。因为AB = AC，所以∠ABC = ∠ACB。因为MN//BC，所以∠ANM = ∠ACB，∠ABC = ∠AMN，四边形BDPM是平行四边形。所以MB = PD。所以∠EPM = ∠EMP，即PE = ME。因为AE + ME = AM，所以PE + PF = AM = AB + PD。又AB = 6，PD = 1，所以PE + PF = 7。所以平行四边形PEAF的周长为2(PE + PF)= 14。
